Faz 45 anos que uma longa adutora de ferro fundido com 6 " de diâmetro foi construída, ligando dois grandes reservatórios mantidos em níveis constantes. Com o passar do tempo a tubulação “envelheceu” devido ao aumento da rugosidade, estimase hoje que o coeficiente de rugosidade seja C =90, e a capacidade de vazão foi reduzida. Deseja-se, através da colocação de uma tubulação nova de ferro fundido, em paralelo com a antiga e de mesmo comprimento, obter uma vazão total do sistema cerca de 10% maior do que a vazão inicial de 45 anos atrás. Determine, usando a equação de Hazen-Williams, o diâmetro a ser usado na nova adutora.

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando: há uma adutora de ferro fundido de 6″ (ou seja, diâmetro D1=0,1524,m) que foi construída há 45 anos. Na época era “lisinha” por dentro, com coeficiente Hazen–Williams alto (vamos chamar de Crm ini), mas hoje, com ferrugem, ficou C1=90. Isso reduziu a vazão. O que querem é instalar uma tubulação novinha, paralela à antiga (mesmo comprimento), de forma que a vazão total agora fique 10 % maior do que a vazão que a tubulação tinha QUANDO FOI INSTALADA. A missão: achar o diâmetro D2 dessa nova tubulação usando a fórmula de Hazen–Williams.
O que a gente vai usar:
  • Equação de Hazen–Williams para vazão em tubulação: Q = K,C,D^2,63,S^0,54,
    onde S=hf/L (retenção por comprimento) e K é constante que vai cair fora no nosso raciocínio de razões.
    - Em paralelo, a perda de carga (logo S) é a mesma em ambas as tubulações, e a vazão total é a soma das duas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a vazão original (quando a tubulação era nova) como
Qrm ini ;=; K,Crm ini,D1^2,63,S^0,54,
Hoje, a mesma tubulação (com D1) rende
Q1 ;=; K,C1,D1^2,63,S^0,54,
E a tubulação nova (diâmetro D2, coeficiente C2, que para ferro fundido novo também toma o mesmo Crm ini) vai render
Q2 ;=; K,C2,D2^2,63,S^0,54,

Passo 3

Como K, S^0,54 e D1^2,63 se repetem, dá pra comparar razões. Em especial:
Q1Qrm ini =K,C1,D1^2,63,S^0,54 K,Crm ini,D1^2,63,S^0,54 =C1Crm ini,,
Q2Qrm ini =K,C2,D2^2,63,S^0,54 K,Crm ini,D1^2,63,S^0,54 =C2Crm ini;l(D2D1r)^2,63,

Passo 4

A vazão total em paralelo é
Qrm tot=Q1+Q2
e o enunciado pede
Qrm tot=1,1,Qrm ini,
Dividindo tudo por Qrm ini:
Q1Qrm ini+Q2Qrm ini =C1Crm ini ;+;C2Crm inil(D2D1r)^2,63 =1,1,
Assumindo que o ferro fundido novo tem o mesmo coeficiente que o original (ou seja, C2=Crm ini), a expressão simplifica para
C1Crm ini ;+; l(tfracD2D1r)^2,63 =1,1 Longrightarrow l(tfracD2D1r)^2,63 =1,1 - C1Crm ini,
Agora botamos C1=90 e Crm ini=C2=130 (valor típico de ferro fundido novo) e D1=0,1524,m:
l(tfracD20,1524r)^2,63 =1,1 - 90130 =1,1 - 0,6923 =0,4077,
Passando ao expoente inverso:

Resposta

O diâmetro da nova adutora deve ser cerca de
D2approx0,108,m
(aprox. 108 mm, ou 4,3 pol.).

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