Faz decomposição campo v para campo potencial e campo solenoidal v=vp+vs e acha escalar phi e vectorial A potenciais:
v=12(x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra decompor o campo
vec v=12l(x^2+y^2,;y^2+z^2,;z^2+x^2r)
num potencial escalar φ (a parte irrotacional) e num potencial vetorial A (a parte solenoidal). A matéria é a Decomposição de Helmholtz: qualquer campo “bonzinho” pode ser escrito como
vec v=nablaphi+nablatimesvec A
Pra isso a gente vai precisar de:
  1. calcular a divergência de v e resolver ;
  2. achar φ e daí ;
  3. definir e encontrar A tal que .

Passo 2

Primeiro, divergência de nablacdotvec v =pdxl(tfracx^2+y^22r) +pdyl(tfracy^2+z^22r) +pdzl(tfracz^2+x^22r) =x+y+z :
Então a equação para φ é
De

Passo 3

Pra resolver phi(x,y,z) = f(x)+g(y)+h(z) , a gente supõe uma φ que seja soma de funções de cada variável:
f''(x)=x, g''(y)=y, h''(z)=z
f(x)=x^36, g(y)=y^36, h(z)=z^36
integramos duas vezes cada:
boxedphi(x,y,z)=x^3+y^3+z^36
Logo, até constante,

Passo 4

Agora a parte irrotacional é
vec vp=nablaphi =l(tfracx^22,;tfracy^22,;tfracz^22r)
Logo a parte solenoidal fica
vec vs=vec v-vec vp =l(tfracy^22,;tfracz^22,;tfracx^22r)

Passo 5

Pra achar nablatimesvec A =l(-partialzA2,;partialzA1,;partialxA2-partialyA1r) =l(tfracy^22,;tfracz^22,;tfracx^22r) tal que boxedvec A(x,y,z) =l(tfracz^36,;-tfracy^2z2+tfracx^36,;0r) , fazemos um ansatz simples .
Queremos

  1. Se a gente escolher , então
    e ,
    daí basta , ou seja .
    Isso nos dá, desprezando constantes:

Resposta

φ(x,y,z)= ,
A(x,y,z)= .

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