Faz decomposição campo
para campo potencial e campo solenoidal
e acha escalar
e vectorial
potenciais:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra decompor o campo
num potencial escalar φ (a parte irrotacional) e num potencial vetorial A (a parte solenoidal). A matéria é a Decomposição de Helmholtz: qualquer campo “bonzinho” pode ser escrito como
Pra isso a gente vai precisar de:
- calcular a divergência de v e resolver
; - achar φ e daí
; - definir
e encontrar A tal que .
Passo 2
Primeiro, divergência de
:
Então a equação para φ é
Passo 3
Pra resolver
, a gente supõe uma φ que seja soma de funções de cada variável:
Aí
integramos duas vezes cada:
Logo, até constante,
Passo 4
Agora a parte irrotacional é
Logo a parte solenoidal fica
Passo 5
Pra achar
tal que
, fazemos um ansatz simples
.
Queremos
Queremos
-
-
-
Se a gente escolher, então
e ,
daí basta, ou seja .
Isso nos dá, desprezando constantes:
Resposta
φ(x,y,z)=
,
A(x,y,z)= .
A(x,y,z)=