(FGV-SP) Seja a matriz identidade de ordem três I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e a matriz A=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]. Considere a equação polinomial na variável real x dada por \operatorname{det}(A-x I)=0, em que o símbolo \operatorname{det}(A-x I) indica o determinante da matriz A-x I. O produto das raízes da equação polinomial é:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
(e) -1

Passo 1

O enunciado dá a matriz identidade de ordem três
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e pede o produto das raízes da equação polinomial em x
\det(A - xI)=0.
O conteúdo principal aqui é autovalores e polinômio característico: as raízes dessa equação são os autovalores de A e o produto delas é igual a \det(A).

Passo 2

Pela teoria de autovalores, se \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 são as raízes de \det(A - xI)=0, então
\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \det(A).

Passo 3

Para calcular \det(A), note que A é a matriz que troca as posições 1 e 3 (permutaçao (1\;3)) e fixa a posição 2. Logo, A é um transposição de dois elementos, cuja assinatura é -1. Assim,
\det(A) = -1.

Resposta

(e) -1

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