(U.F. Lavras-MG) O determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} \operatorname{sen} x & \cos ^{2} x & \cos x \\\ \cos x & 0 & -\operatorname{sen} x \\\ \operatorname{sen} x & -\operatorname{sen}^{2} x & \cos x \end{array}\right)
é:
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 3\times3 cujos elementos envolvem \operatorname{sen} x e \cos x. O conteúdo aqui é cálculo de determinante usando a expansão por cofatores.

Passo 2

Para simplificar, defina
s = \operatorname{sen} x, \quad c = \cos x.
Assim a matriz fica
A = \begin{pmatrix} s & c^2 & c\\\ c & 0 & -s\\\ s & -s^2 & c \end{pmatrix}.
Vamos expandir \det(A) pela primeira linha:
\det(A) = s\det\begin{pmatrix}0 & -s\\\ -s^2 & c\end{pmatrix} - c^2\det\begin{pmatrix}c & -s\s & c\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}c & 0\s & -s^2\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcule o primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}0 & -s\\\ -s^2 & c\end{pmatrix} = 0\cdot c -(-s)\cdot(-s^2) = -s^3.
Portanto a contribuição é
s \times (-s^3) = -s^4.

Passo 4

Calcule o segundo menor:
\det\begin{pmatrix}c & -s\s & c\end{pmatrix} = c\cdot c -(-s)\cdot s = c^2 + s^2 = 1.
Com o sinal da expansão, a contribuição é
-\,c^2 \times 1 = -c^2.

Passo 5

Calcule o terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}c & 0\s & -s^2\end{pmatrix} = c\cdot(-s^2) - 0\cdot s = -c\,s^2.
Logo a contribuição é
c \times (-c\,s^2) = -c^2 s^2.

Passo 6

Somando todas as contribuições,
\det(A) = -s^4 \;-\; c^2 \;-\; c^2 s^2 = -\bigl(s^4 + c^2 s^2 + c^2\bigr) = -\bigl(s^2(s^2 + c^2) + c^2\bigr) = -\bigl(s^2\cdot1 + c^2\bigr) = -(s^2 + c^2) = -1.

Resposta

(a) -1

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