Find the polynomial of least degree that interpolates the table
1.4
1.7
2.1
4.7
7
10
.
Use your answer to estimate the
value for
.
|
1.4 | 1.7 | 2.1 |
|
4.7 | 7 | 10 |
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar o polinômio de menor grau que “passa” pelos pontos
e depois usar esse polinômio pra estimar
quando
.
Conteúdo: interpolação polinomial (grau ≤ 2, já que são 3 pontos).
Vamos precisar da fórmula de Lagrange e de cálculo básico para montar o polinômio.
Conteúdo: interpolação polinomial (grau ≤ 2, já que são 3 pontos).
Vamos precisar da fórmula de Lagrange e de cálculo básico para montar o polinômio.
Passo 2
Teoria rápida (na moral):
- Interpolação polinomial significa achar um polinômio
que satisfaça nos pontos dados. - Com 3 pontos distintos, sempre existe um único polinômio de grau até 2 que interpola tudo.
- Uma forma direta de construir esse
é a fórmula de Lagrange, que monta “pedaços” que valem 1 num ponto e 0 nos outros.
Passo 3
Construindo os polinômios básicos de Lagrange:
Definimos
Definimos
Detalhes de cada denominador:
Passo 4
Montamos o polinômio de interpolação
É a “soma ponderada” dos
pelas ordenadas
. Se você quiser, pode expandir isso no formato
, mas a forma de Lagrange já é perfeitamente válida.
Passo 5
Agora, para estimar
em
, basta calcular cada
:
Então
Resposta
O polinômio interpolador de grau 2 em forma de Lagrange é
e a estimativa para
é