Find the polynomial of least degree that interpolates the table
l||l|l|l $x$ & 1.4 & 1.7 & 2.1 hline$y$ & 4.7 & 7 & 10 1.4 1.7 2.1
y 4.7 7 10
.
Use your answer to estimate the x=1.5 value for .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar o polinômio de menor grau que “passa” pelos pontos
(1.4,4.7),(1.7,7),(2.1,10)
e depois usar esse polinômio pra estimar quando .
Conteúdo: interpolação polinomial (grau ≤ 2, já que são 3 pontos).
Vamos precisar da fórmula de Lagrange e de cálculo básico para montar o polinômio.

Passo 2

Teoria rápida (na moral):
  • Interpolação polinomial significa achar um polinômio que satisfaça nos pontos dados.
  • Com 3 pontos distintos, sempre existe um único polinômio de grau até 2 que interpola tudo.
  • Uma forma direta de construir esse é a fórmula de Lagrange, que monta “pedaços” que valem 1 num ponto e 0 nos outros.

Passo 3

Construindo os polinômios básicos de Lagrange:
Definimos
ℓ0(x)=(x-1.7)(x-2.1)(1.4-1.7)(1.4-2.1), ℓ1(x)=(x-1.4)(x-2.1)(1.7-1.4)(1.7-2.1), ℓ2(x)=(x-1.4)(x-1.7)(2.1-1.4)(2.1-1.7)
Detalhes de cada denominador:
(1.4-1.7)(1.4-2.1)=(-0.3)(-0.7)=0.21, (1.7-1.4)(1.7-2.1)=(0.3)(-0.4)=-0.12,
(2.1-1.4)(2.1-1.7)=(0.7)(0.4)=0.28

Passo 4

Montamos o polinômio de interpolação
p(x)=4.7,ℓ0(x);+;7,ℓ1(x);+;10,ℓ2(x)
É a “soma ponderada” dos pelas ordenadas . Se você quiser, pode expandir isso no formato , mas a forma de Lagrange já é perfeitamente válida.

Passo 5

Agora, para estimar ℓ0(1.5)=(1.5-1.7)(1.5-2.1)0.21 =(-0.2)(-0.6)0.21approx0.57143, em ℓ1(1.5)=(1.5-1.4)(1.5-2.1)-0.12 =(0.1)(-0.6)-0.12approx0.5, , basta calcular cada ℓ2(1.5)=(1.5-1.4)(1.5-1.7)0.28 =(0.1)(-0.2)0.28approx-0.07143 :
p(1.5)=4.7cdot0.57143+7cdot0.5+10cdot(-0.07143)approx5.47143
Então

Resposta

O polinômio interpolador de grau 2 em forma de Lagrange é
p(x)=4.7,(x-1.7)(x-2.1)0.21;+;7,(x-1.4)(x-2.1)-0.12;+;10,(x-1.4)(x-1.7)0.28,
e a estimativa para boxedp(1.5)approx5.47 é

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