Find the polynomial of least degree that interpolates the table
Use your answer to estimate the
value for
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar um polinômio de grau mínimo (no nosso caso vai ser grau 2) que passe pelos três pontos
Isso é um problema de interpolação polinomial (especificamente usando a fórmula de Lagrange). Vamos precisar:
- entender o polinômio de Lagrange para três pontos,
- montar as bases
, - combinar essas bases com os valores de
, e - por fim avaliar no ponto
.
Passo 2
Teoria rápida de Lagrange: se você tem três pontos
, o polinômio interpolador é
onde cada base é
Isso garante
(ou seja, vale 1 em
e 0 nos outros).
Passo 3
Vamos nomear
Calculamos os denominadores de cada
:
Passo 4
Agora cada base:
E o polinômio é
Passo 5
Se você expandir tudo (só reunir coeficientes de
) dá
Esse é o polinômio de grau 2 que passa exatamente pelos três pontos.
Passo 6
Para estimar em
podemos usar direto as bases:
Então
Resposta
O polinômio de menor grau é
e a estimativa em
é