Find the polynomial of least degree that interpolates the table
l||l|l|l x & 1.4 & 1.2 & 1.7 hline y & 4.7 & 2.3 & 4.7
Use your answer to estimate the y value for x=1.5.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar um polinômio de grau mínimo (no nosso caso vai ser grau 2) que passe pelos três pontos
(1.4,,4.7),(1.2,,2.3),(1.7,,4.7)
Isso é um problema de interpolação polinomial (especificamente usando a fórmula de Lagrange). Vamos precisar:
  1. entender o polinômio de Lagrange para três pontos,
  2. montar as bases ,
  3. combinar essas bases com os valores de , e
  4. por fim avaliar no ponto .

Passo 2

Teoria rápida de Lagrange: se você tem três pontos P(x)=y0,L0(x)+y1,L1(x)+y2,L2(x), , o polinômio interpolador é
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj
onde cada base é
Isso garante (ou seja, vale 1 em e 0 nos outros).

Passo 3

Vamos nomear
x0=1.4,;y0=4.7; x1=1.2,;y1=2.3; x2=1.7,;y2=4.7
Calculamos os denominadores de cada (x0-x1)(x0-x2)=(1.4-1.2)(1.4-1.7)=0.2cdot(-0.3)=-0.06, :
(x1-x0)(x1-x2)=(1.2-1.4)(1.2-1.7)=(-0.2)cdot(-0.5)=0.10,
(x2-x0)(x2-x1)=(1.7-1.4)(1.7-1.2)=0.3cdot0.5=0.15

Passo 4

Agora cada base:
L0(x)=(x-1.2)(x-1.7)-0.06, L1(x)=(x-1.4)(x-1.7)0.10, L2(x)=(x-1.4)(x-1.2)0.15
E o polinômio é
P(x)=4.7,L0(x)+2.3,L1(x)+4.7,L2(x)

Passo 5

Se você expandir tudo (só reunir coeficientes de P(x)=-24,x^2+74.4,x-52.42 ) dá
Esse é o polinômio de grau 2 que passa exatamente pelos três pontos.

Passo 6

Para estimar em L0(1.5)=(1.5-1.2)(1.5-1.7)-0.06 =0.3cdot(-0.2)-0.06=1, podemos usar direto as bases:
L1(1.5)=(1.5-1.4)(1.5-1.7)0.10 =0.1cdot(-0.2)0.10=-0.2,
L2(1.5)=(1.5-1.4)(1.5-1.2)0.15 =0.1cdot0.30.15=0.2
P(1.5)=4.7cdot1 ;+;2.3cdot(-0.2);+;4.7cdot0.2 =4.7-0.46+0.94 =5.18
Então

Resposta

O polinômio de menor grau é
boxedP(x)=-24x^2+74.4x-52.42
e a estimativa em boxedP(1.5)=5.18 é

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