Há alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser sempre resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses (que nós encontramos algumas vezes neste capítulo) é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade
, ou seja,
. Escreva a segunda lei de Newton e separe as
variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como uma função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado. Esse método de separação de variáveis será usado novamente nos Problemas 2.8 e 2.9.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula numa direção só, onde a força que age sobre ela depende apenas da velocidade, ou seja,
. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton para resolver isso. Basicamente, a segunda lei relaciona a força, a massa e a aceleração da partícula. Vamos precisar separar as variáveis na equação e integrar pra achar a relação entre tempo e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton:
Aqui,
é a massa da partícula e
é a aceleração.
Passo 3
Como a força
depende só da velocidade
, podemos reescrever a equação isolando as variáveis
e
:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar uma relação entre o tempo
e a velocidade
:
Resolvendo as integrais:
Passo 5
Então, isolando
:
Isso mostra que o tempo
é função da velocidade
, dependendo da integral da força em relação à velocidade.
Passo 6
Agora, vamos aplicar esse método no caso especial onde
, uma constante. Substituindo na integral:
Como
é constante, a integral fica mais fácil:
Passo 7
Finalmente, resolvendo para
:
Esse resultado mostra que a velocidade aumenta linearmente com o tempo quando a força é constante. Ou seja, a acelerção
é constante, o que faz sentido pela segunda lei de Newton.
Resposta
A velocidade em função do tempo é:
Isso significa que, com uma força constante
, a velocidade da partícula aumenta linearmente ao longo do tempo.