Há alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser sempre resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses (que nós encontramos algumas vezes neste capítulo) é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade , ou seja, . Escreva a segunda lei de Newton e separe as
variáveis reescrevendo-a como . Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece como uma função de . Você pode, então, resolver para obter como função de . Use esse método para resolver o caso especial em que , uma constante, e comente o resultado. Esse método de separação de variáveis será usado novamente nos Problemas 2.8 e 2.9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula numa direção só, onde a força que age sobre ela depende apenas da velocidade, ou seja, . A gente vai usar a Segunda Lei de Newton para resolver isso. Basicamente, a segunda lei relaciona a força, a massa e a aceleração da partícula. Vamos precisar separar as variáveis na equação e integrar pra achar a relação entre tempo e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton:
Aqui, é a massa da partícula e é a aceleração.

Passo 3

Como a força depende só da velocidade , podemos reescrever a equação isolando as variáveis e :
Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar uma relação entre o tempo e a velocidade :
Resolvendo as integrais:

Passo 5

Então, isolando :
Isso mostra que o tempo é função da velocidade , dependendo da integral da força em relação à velocidade.

Passo 6

Agora, vamos aplicar esse método no caso especial onde , uma constante. Substituindo na integral:
Como é constante, a integral fica mais fácil:

Passo 7

Finalmente, resolvendo para :
Esse resultado mostra que a velocidade aumenta linearmente com o tempo quando a força é constante. Ou seja, a acelerção é constante, o que faz sentido pela segunda lei de Newton.

Resposta

A velocidade em função do tempo é:
Isso significa que, com uma força constante , a velocidade da partícula aumenta linearmente ao longo do tempo.

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