Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e
são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa
que está se movendo ao longo do eixo
e está sofrendo uma força que depende da velocidade,
. Precisamos encontrar como a velocidade
varia com o tempo, dado que a velocidade inicial é
no instante
. Além disso, queremos saber em quanto tempo a massa para completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis de Newton e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, podemos reescrever a equação da força como:
Passo 3
Substituindo a força dada no enunciado, temos:
Vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos separar as variáveis
e
:
Lembre-se que
é igual a
, então podemos reescrever o lado esquerdo:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
é:
E a integral do lado direito em relação a
é:
Aqui,
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante
.
Passo 6
Então, temos:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Para encontrar
, tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Então, a expressão para a velocidade em função do tempo é:
Passo 11
Agora, vamos para a parte (b): encontrar o tempo
quando a massa atinge o repouso, ou seja,
.
Substituímos
na expressão encontrada:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 12
Para que o logaritmo natural seja zero, o argumento deve ser 1:
Isolando
:
Resposta
(a) A velocidade em função do tempo é:
(b) O tempo para a massa atingir o repouso é: