Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa está submetida a mover-se ao longo do eixo sujeita a uma força , onde e são constantes. (a) Determine se a velocidade inicial for no instante . (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa que está se movendo ao longo do eixo e está sofrendo uma força que depende da velocidade, . Precisamos encontrar como a velocidade varia com o tempo, dado que a velocidade inicial é no instante . Além disso, queremos saber em quanto tempo a massa para completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis de Newton e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, podemos reescrever a equação da força como:

Passo 3

Substituindo a força dada no enunciado, temos:
Vamos rearranjar essa equação para isolar :

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Vamos separar as variáveis e :
Lembre-se que é igual a , então podemos reescrever o lado esquerdo:

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a é:
E a integral do lado direito em relação a é:
Aqui, e são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante .

Passo 6

Então, temos:
Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial . Substituindo e na equação:
Então, .

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Passo 9

Para encontrar , tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Então, a expressão para a velocidade em função do tempo é:

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b): encontrar o tempo quando a massa atinge o repouso, ou seja, .
Substituímos na expressão encontrada:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 12

Para que o logaritmo natural seja zero, o argumento deve ser 1:
Isolando :

Resposta

(a) A velocidade em função do tempo é:
(b) O tempo para a massa atingir o repouso é:

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