Quando uma bola de beisebol voa através do ar, a razão da força de arrasto quadrática pela linear é dada por (2.7). Dado que essa bola tem diâmetro 7 cm , determine a velocidade aproximada na qual as duas forças de arrasto são igualmente importantes. Para qual intervalo de velocidades é seguro tratar a força de arrasto como sendo puramente quadrática? Sob condições normais, é uma boa aproximação ignorar o termo linear? Responda às mesmas questões para uma bola de praia de diâmetro 70 cm .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma bola de beisebol com diâmetro de 7 cm e uma bola de praia com diâmetro de 70 cm. Quando essas bolas voam pelo ar, elas experimentam duas forças de arrasto: uma que depende linearmente da velocidade ( ) e outra que depende do quadrado da velocidade ( ). O conteúdo da matéria envolve mecânica dos fluidos, especificamente forças de arrasto. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam essas forças com a velocidade e o diâmetro das bolas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças de arrasto. A força de arrasto linear ( ) é geralmente proporcional à velocidade ( ), enquanto a força de arrasto quadrática ( ) é proporcional ao quadrado da velocidade. A razão entre elas é dada por:
onde é uma constante que depende do diâmetro da bola e das propriedades do ar.

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade na qual . Ou seja:
Substituindo as expressões:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Isolando :

Passo 4

A constante pode ser relacionada ao diâmetro da bola. Geralmente, para esferas, está relacionado a e está relacionado a . Portanto, podemos assumir que:
onde é uma constante que depende das propriedades do ar.

Passo 5

Para determinar a velocidade , precisamos de valores específicos para , , e . Porém, como não temos esses valores, podemos expressar em termos de :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos analisar para as duas bolas:
  1. Bola de Beisebol (7 cm):
    • Diâmetro
    • Substituindo na fórmula de :
  1. Bola de Praia (70 cm):
    • Diâmetro
    • Substituindo na fórmula de :

Passo 7

Para determinar o intervalo de velocidades onde a força de arrasto é puramente quadrática, observamos que quando domina, ou seja, quando é grande. Portanto, quando é maior que a velocidade encontrada onde , podemos considerar o arrasto como puramente quadrático.

Passo 8

Sob condições normais, para altas velocidades onde domina, é uma boa aproximação ignorar o termo linear . Isso simplifica os cálculos sem perda significativa de precisão nesse regime de velocidades.

Resposta

A velocidade aproximada na qual as forças de arrasto linear e quadrática são igualmente importantes é:
Para a bola de beisebol com diâmetro de 7 cm e a bola de praia com 70 cm, as velocidades serão respectivamente menores conforme o aumento do diâmetro. O intervalo de velocidades onde a força de arrasto pode ser tratada como puramente quadrática ocorre para maiores que a velocidade calculada. Além disso, sob condições normais de alta velocidade, é uma boa aproximação ignorar o termo linear .

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