Quando uma bola de beisebol voa através do ar, a razão
da força de arrasto quadrática pela linear é dada por (2.7). Dado que essa bola tem diâmetro 7 cm , determine a velocidade aproximada
na qual as duas forças de arrasto são igualmente importantes. Para qual intervalo de velocidades é seguro tratar a força de arrasto como sendo puramente quadrática? Sob condições normais, é uma boa aproximação ignorar o termo linear? Responda às mesmas questões para uma bola de praia de diâmetro 70 cm .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma bola de beisebol com diâmetro de 7 cm e uma bola de praia com diâmetro de 70 cm. Quando essas bolas voam pelo ar, elas experimentam duas forças de arrasto: uma que depende linearmente da velocidade (
) e outra que depende do quadrado da velocidade (
). O conteúdo da matéria envolve mecânica dos fluidos, especificamente forças de arrasto. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam essas forças com a velocidade e o diâmetro das bolas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças de arrasto. A força de arrasto linear (
) é geralmente proporcional à velocidade (
), enquanto a força de arrasto quadrática (
) é proporcional ao quadrado da velocidade. A razão entre elas é dada por:
onde
é uma constante que depende do diâmetro da bola e das propriedades do ar.
Passo 3
Queremos encontrar a velocidade
na qual
. Ou seja:
Substituindo as expressões:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Isolando
:
Passo 4
A constante
pode ser relacionada ao diâmetro
da bola. Geralmente, para esferas,
está relacionado a
e
está relacionado a
. Portanto, podemos assumir que:
onde
é uma constante que depende das propriedades do ar.
Passo 5
Para determinar a velocidade
, precisamos de valores específicos para
,
, e
. Porém, como não temos esses valores, podemos expressar
em termos de
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar para as duas bolas:
- Bola de Beisebol (7 cm):
- Diâmetro
- Substituindo na fórmula de
:
- Diâmetro
- Bola de Praia (70 cm):
- Diâmetro
- Substituindo na fórmula de
:
- Diâmetro
Passo 7
Para determinar o intervalo de velocidades onde a força de arrasto é puramente quadrática, observamos que quando
domina, ou seja, quando
é grande. Portanto, quando
é maior que a velocidade
encontrada onde
, podemos considerar o arrasto como puramente quadrático.
Passo 8
Sob condições normais, para altas velocidades onde
domina, é uma boa aproximação ignorar o termo linear
. Isso simplifica os cálculos sem perda significativa de precisão nesse regime de velocidades.
Resposta
A velocidade aproximada
na qual as forças de arrasto linear e quadrática são igualmente importantes é:
Para a bola de beisebol com diâmetro de 7 cm e a bola de praia com 70 cm, as velocidades serão respectivamente menores conforme o aumento do diâmetro. O intervalo de velocidades onde a força de arrasto pode ser tratada como puramente quadrática ocorre para
maiores que a velocidade calculada. Além disso, sob condições normais de alta velocidade, é uma boa aproximação ignorar o termo linear
.