Suponha que um projétil que está sujeito a uma força de resistência linear seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade
, que é maior do que a velocidade limite
. Descreva e explique como a velocidade varia com o tempo e faça um gráfico de
por
para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um projétil lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial
que é duas vezes a velocidade limite
. O conteúdo aqui envolve cinemática com resistência do ar, especificamente resistência linear que depende da velocidade. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como as forças atuam no projétil e como isso afeta a velocidade ao longo do tempo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que agem no projétil. Quando um projétil é lançado para cima, duas forças principais atuam sobre ele:
- Força da gravidade (
): Puxa o projétil para baixo e é igual a , onde é a massa do projétil e é a aceleração devido à gravidade. - Força de resistência do ar (
): Essa força impede o movimento do projétil e é proporcional à sua velocidade, então , onde é a constante de resistência e é a velocidade vertical.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças:
Aqui, o sinal negativo indica que ambas as forças estão atuando na direção oposta ao movimento inicial (que é para cima).
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante (
) é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator:
Isso permite que o lado esquerdo da equação seja reescrito como a derivada do produto
.
Passo 6
Reescrevendo a equação:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calculando a integral:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Isso nos dá a expressão geral para a velocidade em função do tempo.
Passo 9
Aplicamos a condição inicial. Sabemos que quando
,
.
Substituindo esses valores:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituímos
na equação da velocidade:
Podemos simplificar para:
Passo 11
Para o gráfico de
versus
, notamos que:
- Inicialmente, a velocidade começa em
. - Com o tempo, a velocidade diminui exponencialmente devido à resistência do ar.
- Eventualmente, a velocidade se aproxima de
, que é a velocidade terminal quando a resistência do ar equilibra a gravidade.
Passo 12
Então, resumindo, a velocidade do projétil diminui de forma exponencial a partir de
e se estabiliza em uma velocidade negativa constante, indicando que o projétil começa a cair.
Resposta
A velocidade
do projétil varia com o tempo segundo a equação
Isso significa que a velocidade inicial de
diminui exponencialmente até se estabilizar em uma velocidade constante negativa. O gráfico de
versus
mostra essa queda rápida no início, seguida por uma aproximação gradual da velocidade terminal
.