Suponha que um projétil que está sujeito a uma força de resistência linear seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade , que é maior do que a velocidade limite . Descreva e explique como a velocidade varia com o tempo e faça um gráfico de por para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um projétil lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial que é duas vezes a velocidade limite . O conteúdo aqui envolve cinemática com resistência do ar, especificamente resistência linear que depende da velocidade. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como as forças atuam no projétil e como isso afeta a velocidade ao longo do tempo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que agem no projétil. Quando um projétil é lançado para cima, duas forças principais atuam sobre ele:
  1. Força da gravidade ( ): Puxa o projétil para baixo e é igual a , onde é a massa do projétil e é a aceleração devido à gravidade.
  2. Força de resistência do ar ( ): Essa força impede o movimento do projétil e é proporcional à sua velocidade, então , onde é a constante de resistência e é a velocidade vertical.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças:
Aqui, o sinal negativo indica que ambas as forças estão atuando na direção oposta ao movimento inicial (que é para cima).

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o fator integrante.

Passo 5

O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator:
Isso permite que o lado esquerdo da equação seja reescrito como a derivada do produto .

Passo 6

Reescrevendo a equação:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Calculando a integral:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, isolamos :
Isso nos dá a expressão geral para a velocidade em função do tempo.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial. Sabemos que quando , .
Substituindo esses valores:
Resolvendo para :

Passo 10

Substituímos na equação da velocidade:
Podemos simplificar para:

Passo 11

Para o gráfico de versus , notamos que:
  • Inicialmente, a velocidade começa em .
  • Com o tempo, a velocidade diminui exponencialmente devido à resistência do ar.
  • Eventualmente, a velocidade se aproxima de , que é a velocidade terminal quando a resistência do ar equilibra a gravidade.

Passo 12

Então, resumindo, a velocidade do projétil diminui de forma exponencial a partir de e se estabiliza em uma velocidade negativa constante, indicando que o projétil começa a cair.

Resposta

A velocidade do projétil varia com o tempo segundo a equação
Isso significa que a velocidade inicial de diminui exponencialmente até se estabilizar em uma velocidade constante negativa. O gráfico de versus mostra essa queda rápida no início, seguida por uma aproximação gradual da velocidade terminal .

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