Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento
de um vetor tridimensional
satisfaz
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor tridimensional
e queremos encontrar o comprimento
desse vetor usando o teorema de Pitágoras duas vezes. O teorema de Pitágoras é um conceito da geometria que relaciona os lados de um triângulo retângulo. Vamos precisar das fórmulas do teorema para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar calculando a distância no plano
. Imagine que o vetor
está sendo projetado no plano
, formando um triângulo retângulo com os lados
e
. De acordo com o teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo, que vamos chamar de
, é dada por:
Aqui, estamos aplicando o teorema para encontrar a distância no plano bidimensional.
Passo 3
Agora, temos que considerar a terceira dimensão, o eixo
. O comprimento total do vetor
no espaço tridimensional será a hipotenusa de outro triângulo retângulo, onde um dos lados é
e o outro lado é
. Aplicando novamente o teorema de Pitágoras, temos:
Substituindo
pela expressão que encontramos no passo anterior:
Passo 4
Simplificando a expressão, percebemos que
é igual a
. Então:
Resposta
O comprimento
do vetor tridimensional
satisfaz a relação: