Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento de um vetor tridimensional satisfaz .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor tridimensional e queremos encontrar o comprimento desse vetor usando o teorema de Pitágoras duas vezes. O teorema de Pitágoras é um conceito da geometria que relaciona os lados de um triângulo retângulo. Vamos precisar das fórmulas do teorema para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar calculando a distância no plano . Imagine que o vetor está sendo projetado no plano , formando um triângulo retângulo com os lados e . De acordo com o teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo, que vamos chamar de , é dada por:
Aqui, estamos aplicando o teorema para encontrar a distância no plano bidimensional.

Passo 3

Agora, temos que considerar a terceira dimensão, o eixo . O comprimento total do vetor no espaço tridimensional será a hipotenusa de outro triângulo retângulo, onde um dos lados é e o outro lado é . Aplicando novamente o teorema de Pitágoras, temos:
Substituindo pela expressão que encontramos no passo anterior:

Passo 4

Simplificando a expressão, percebemos que é igual a . Então:

Resposta

O comprimento do vetor tridimensional satisfaz a relação:

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