Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial
, de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo
acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posição do bloco como uma função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bloco que está deslizando sem atrito por um plano inclinado com um ângulo de
. Ele foi chutado com uma velocidade inicial
. Nosso objetivo aqui é aplicar a segunda lei de Newton para esse bloco e descobrir como a posição dele varia com o tempo. Para isso, vamos precisar entender como as forças atuam no bloco e usar as equações do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco. Como não há atrito, as principais forças são:
- A força da gravidade (
) que puxa o bloco para baixo. - A força normal (
) do plano inclinado que empurra o bloco perpendicularmente ao plano.
Passo 3
Agora, vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
- Uma paralela ao plano:
- Outra perpendicular ao plano:
A componente perpendicular é igual à força normal
, então
.
Passo 4
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante
é igual à massa
vezes a aceleração
:
No nosso caso, a única força que causa aceleração ao longo do plano é a componente da gravidade paralela, que age na direção oposta ao movimento. Então:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Então, a aceleração do bloco é:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao movimento inicial.
Passo 6
Agora, vamos usar a equação do movimento para a posição em função do tempo. Sabemos que:
Substituindo a aceleração que encontramos:
Resposta
A posição do bloco em função do tempo é: