Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial , de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posição do bloco como uma função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco que está deslizando sem atrito por um plano inclinado com um ângulo de . Ele foi chutado com uma velocidade inicial . Nosso objetivo aqui é aplicar a segunda lei de Newton para esse bloco e descobrir como a posição dele varia com o tempo. Para isso, vamos precisar entender como as forças atuam no bloco e usar as equações do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco. Como não há atrito, as principais forças são:
  • A força da gravidade ( ) que puxa o bloco para baixo.
  • A força normal ( ) do plano inclinado que empurra o bloco perpendicularmente ao plano.

Passo 3

Agora, vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
  • Uma paralela ao plano:
  • Outra perpendicular ao plano:
A componente perpendicular é igual à força normal , então .

Passo 4

Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração :
No nosso caso, a única força que causa aceleração ao longo do plano é a componente da gravidade paralela, que age na direção oposta ao movimento. Então:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Então, a aceleração do bloco é:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao movimento inicial.

Passo 6

Agora, vamos usar a equação do movimento para a posição em função do tempo. Sabemos que:
Substituindo a aceleração que encontramos:

Resposta

A posição do bloco em função do tempo é:

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