Uma partícula se move em um círculo (cento
e raio
) com velocidade angular constante
, no sentido contrário aos ponteiros de um relógio. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo
no instante
. Mostre que a posição da partícula é dada por
Determine a velocidade e a aceleração da partícula. Quais são a magnitude e a direção da aceleração? Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo num círculo de raio
com velocidade angular constante
, no sentido anti-horário. No tempo
, ela tá no eixo
. Precisamos achar as equações da velocidade e da aceleração dessa partícula, além de ver a magnitude e direção da aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, que envolve posição vetorial, derivadas para velocidade e aceleração, e entender como tudo isso se relaciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada por:
Isso significa que, conforme o tempo passa, a partícula se move ao redor do círculo, com suas coordenadas
e
variando de acordo com o cosseno e seno da função angular.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade, a gente precisa derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade vetorial é a derivada de
:
Vamos fazer isso:
Derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para achar a aceleração, vamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração vetorial é a derivada de
:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Vamos agora determinar a magnitude da aceleração. A magnitude de um vetor
é dada por:
Calculando:
Então, a magnitude da aceleração é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a direção da aceleração. Observamos que:
Isso mostra que a aceleração está sempre na direção oposta ao vetor posição
, ou seja, aponta para o centro do círculo. Esse tipo de aceleração é conhecida como aceleração centrípeta.
Passo 7
Por fim, vamos relacionar nossos resultados com as propriedades do movimento circular uniforme. No movimento circular uniforme:
- A velocidade angular
é constante. - A aceleração centrípeta tem magnitude
e está sempre direcionada para o centro do círculo. - A velocidade vetorial está sempre tangente ao caminho circular, perpendicular ao vetor posição.
Vimos que nossos cálculos confirmam essas propriedades: a aceleração tem magnitude
e direção centrípeta, e a forma da velocidade indica que ela é perpendicular ao vetor posição.
Resposta
A velocidade da partícula é dada por:
A aceleração da partícula é:
A magnitude da aceleração é
e sua direção é sempre em direção ao centro do círculo, caracterizando a aceleração centrípeta. Esses resultados confirmam as propriedades conhecidas do movimento circular uniforme, onde a aceleração está sempre apontando para o centro com magnitude
.