Uma partícula se move em um círculo (cento e raio ) com velocidade angular constante , no sentido contrário aos ponteiros de um relógio. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo no instante . Mostre que a posição da partícula é dada por
Determine a velocidade e a aceleração da partícula. Quais são a magnitude e a direção da aceleração? Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo num círculo de raio com velocidade angular constante , no sentido anti-horário. No tempo , ela tá no eixo . Precisamos achar as equações da velocidade e da aceleração dessa partícula, além de ver a magnitude e direção da aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, que envolve posição vetorial, derivadas para velocidade e aceleração, e entender como tudo isso se relaciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada por:
Isso significa que, conforme o tempo passa, a partícula se move ao redor do círculo, com suas coordenadas e variando de acordo com o cosseno e seno da função angular.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade, a gente precisa derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade vetorial é a derivada de :
Vamos fazer isso:
Derivando cada termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para achar a aceleração, vamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração vetorial é a derivada de :
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Podemos fatorar :

Passo 5

Vamos agora determinar a magnitude da aceleração. A magnitude de um vetor é dada por:
Calculando:
Então, a magnitude da aceleração é .

Passo 6

Agora, vamos analisar a direção da aceleração. Observamos que:
Isso mostra que a aceleração está sempre na direção oposta ao vetor posição , ou seja, aponta para o centro do círculo. Esse tipo de aceleração é conhecida como aceleração centrípeta.

Passo 7

Por fim, vamos relacionar nossos resultados com as propriedades do movimento circular uniforme. No movimento circular uniforme:
  • A velocidade angular é constante.
  • A aceleração centrípeta tem magnitude e está sempre direcionada para o centro do círculo.
  • A velocidade vetorial está sempre tangente ao caminho circular, perpendicular ao vetor posição.
Vimos que nossos cálculos confirmam essas propriedades: a aceleração tem magnitude e direção centrípeta, e a forma da velocidade indica que ela é perpendicular ao vetor posição.

Resposta

A velocidade da partícula é dada por:
A aceleração da partícula é:
A magnitude da aceleração é e sua direção é sempre em direção ao centro do círculo, caracterizando a aceleração centrípeta. Esses resultados confirmam as propriedades conhecidas do movimento circular uniforme, onde a aceleração está sempre apontando para o centro com magnitude .

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