Os três vetores
apontam da origem
para os três vértices de um triângulo. Use o resultado do Problema 1.18 para mostrar que a área do triângulo é dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores,
,
e
, que partem da origem
e vão até os vértices de um triângulo. Queremos mostrar que a área desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e algumas propriedades de vetores em geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular ao plano formado por
e
. A magnitude desse produto vetorial é igual à área do paralelogramo formado por
e
:
Como um triângulo é metade de um paralelogramo, a área do triângulo formado por
e
seria:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso triângulo formado pelos vetores
,
e
. Para encontrar a área, precisamos considerar as arestas do triângulo. Vamos pensar nas arestas como diferenças entre os vetores:
- A aresta de
para é - A aresta de
para é - A aresta de
para é
Passo 4
Usando o conceito de produto vetorial para encontrar a área do triângulo, podemos calcular o produto vetorial de duas dessas arestas. Por exemplo, usando
e
:
A magnitude desse produto vetorial nos dará duas vezes a área do triângulo:
Passo 5
Agora, vamos expandir o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero (
), então simplificamos para:
Passo 6
Observando as propriedades do produto vetorial, sabemos que ele é anticomutativo, ou seja,
. Usando isso, podemos reescrever os termos:
Passo 7
Então, temos que:
Resposta
Portanto, a área do triângulo é: