Os três vetores apontam da origem para os três vértices de um triângulo. Use o resultado do Problema 1.18 para mostrar que a área do triângulo é dada por
áâ

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores, , e , que partem da origem e vão até os vértices de um triângulo. Queremos mostrar que a área desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e algumas propriedades de vetores em geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores e , denotado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular ao plano formado por e . A magnitude desse produto vetorial é igual à área do paralelogramo formado por e :
Á
Como um triângulo é metade de um paralelogramo, a área do triângulo formado por e seria:
Áâ

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso triângulo formado pelos vetores , e . Para encontrar a área, precisamos considerar as arestas do triângulo. Vamos pensar nas arestas como diferenças entre os vetores:
  • A aresta de para é
  • A aresta de para é
  • A aresta de para é

Passo 4

Usando o conceito de produto vetorial para encontrar a área do triângulo, podemos calcular o produto vetorial de duas dessas arestas. Por exemplo, usando e :
A magnitude desse produto vetorial nos dará duas vezes a área do triângulo:
Áâ

Passo 5

Agora, vamos expandir o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero ( ), então simplificamos para:

Passo 6

Observando as propriedades do produto vetorial, sabemos que ele é anticomutativo, ou seja, . Usando isso, podemos reescrever os termos:

Passo 7

Então, temos que:
Áâ

Resposta

Portanto, a área do triângulo é:
Á

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