Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: (a) Para um corpo rígido composto de partículas de massa
, girando em torno de um eixo através da origem com velocidade angular
, mostre que sua energia total pode ser escrita como
Lembre-se de que
. Você pode achar que a seguinte indentidade vetorial é útil: para quaisquer dois vetores
e b,
(Se você usou essa identidade, por favor, demonstre-a.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos como a energia total
de um corpo rígido em rotação pode ser escrita de uma certa forma usando identidades vetoriais. A matéria envolvida aqui é cinemática rotacional e identidades vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade das partículas está relacionada com a velocidade angular e aplicar uma identidade vetorial importante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para cada partícula
do corpo rígido, a velocidade
está relacionada com a velocidade angular
e a posição
pela seguinte relação:
Isso significa que a velocidade de cada partícula é o produto vetorial da velocidade angular com a posição da partícula em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
A energia cinética total
do corpo rígido é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que o compõem. A energia cinética de cada partícula é dada por:
Então, a energia total é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
pela expressão em termos de
e
:
Passo 5
Aqui entra a identidade vetorial que o exercício mencionou. Para quaisquer dois vetores
e
, temos:
Essa identidade é super útil porque nos permite simplificar o termo
.
Passo 6
Vamos aplicar essa identidade substituindo
por
e
por
:
Então, substituindo de volta na expressão para
:
Passo 7
E voilà! Chegamos na expressão que o exercício pediu para demonstrar:
Resposta
A energia total do corpo rígido é dada por