Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: (a) Para um corpo rígido composto de partículas de massa , girando em torno de um eixo através da origem com velocidade angular , mostre que sua energia total pode ser escrita como
Lembre-se de que . Você pode achar que a seguinte indentidade vetorial é útil: para quaisquer dois vetores e b,
(Se você usou essa identidade, por favor, demonstre-a.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos como a energia total de um corpo rígido em rotação pode ser escrita de uma certa forma usando identidades vetoriais. A matéria envolvida aqui é cinemática rotacional e identidades vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade das partículas está relacionada com a velocidade angular e aplicar uma identidade vetorial importante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para cada partícula do corpo rígido, a velocidade está relacionada com a velocidade angular e a posição pela seguinte relação:
Isso significa que a velocidade de cada partícula é o produto vetorial da velocidade angular com a posição da partícula em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

A energia cinética total do corpo rígido é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que o compõem. A energia cinética de cada partícula é dada por:
Então, a energia total é:

Passo 4

Agora, vamos substituir pela expressão em termos de e :

Passo 5

Aqui entra a identidade vetorial que o exercício mencionou. Para quaisquer dois vetores e , temos:
Essa identidade é super útil porque nos permite simplificar o termo .

Passo 6

Vamos aplicar essa identidade substituindo por e por :
Então, substituindo de volta na expressão para :

Passo 7

E voilà! Chegamos na expressão que o exercício pediu para demonstrar:

Resposta

A energia total do corpo rígido é dada por

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