Suponha que você tenha encontrado três eixos principais independentes (direções ) e os correspondentes eixos principais de um corpo rígido, cujo tensor momento de inércia (não diagonal) você também calculou. (Você pode assumir, o que é bem fácil de ser demonstrado, que todas as grandezas são reais.) (d) Mostre que, se os três momentos principais forem iguais, então qualquer eixo é um eixo principal com o mesmo momento principal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo rígido com três eixos principais independentes, chamados , e , e seus respectivos momentos principais de inércia , e . O tensor momento de inércia não está na forma diagonal, mas sabemos que todas as grandezas envolvidas são reais. A pergunta quer que a gente mostre que, se os três momentos principais são iguais, então qualquer eixo será um eixo principal com o mesmo momento principal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensores de inércia e eixos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um tensor momento de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Normalmente, na base dos eixos principais, esse tensor é diagonal, o que significa que não há termos de acoplamento entre diferentes direções.
Quando os três momentos principais são iguais, ou seja, , o tensor de inércia na base dos eixos principais fica assim:
Passo 3
Agora, vamos considerar o que significa ter um tensor de inércia proporcional à matriz identidade. No nosso caso, com todos os iguais, o tensor é igual a vezes a matriz identidade :
Um tensor de inércia dessa forma é isotrópico, ou seja, é o mesmo em todas as direções. Isso implica que não há preferência por nenhum eixo específico como eixo principal, já que todas as direções são equivalentes.
Passo 4
Para mostrar que qualquer eixo é um eixo principal, vamos considerar uma nova direção qualquer definida por um vetor unitário . O momento de inércia em relação a esse eixo é dado por:
Como é um vetor unitário, a soma dos quadrados dos seus componentes é 1. Portanto, para qualquer .
Passo 5
Além disso, para que seja um eixo principal, o tensor de inércia deve ser diagonal na direção desse eixo. Como o tensor é proporcional à identidade, ele já está diagonal em qualquer base ortonormal que incluia . Isso confirma que é um eixo principal.
Resposta
Então, mostramos que se os três momentos principais de inércia são iguais, qualquer eixo escolhido será um eixo principal com o mesmo momento principal .
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 10.Problemas - Ex. 10.38d