Para ilustrar o resultado (10.8), em que a EC total de um corpo é a EC rotacional relativa a um ponto qualquer que está instantaneamente em repouso, faça o seguinte: obtenha a EC de uma roda uniforme (massa
, raio
) girando com uma velocidade
ao longo de uma estrada plana, como a soma das energias do movimento do CM e da rotação em torno do CM. Agora, escreva esta com a energia da rotação em torno do ponto de contato instantâneo com a estrada e mostre que você obtém a mesma resposta. (A energia de rotação é
. O momento de inércia de uma roda uniforme com relação ao seu centro é
. Aquele com realção ao ponto de contato é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia cinética de uma roda em movimento. A gente vai trabalhar com conceitos de mecânica, especificamente sobre energia de translação e de rotação. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia do movimento do centro de massa (CM) e a rotação ao redor do CM, além de aplicar o teorema do momento de inércia. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética total da roda considerando o movimento do centro de massa e a rotação ao redor do centro de massa.
A energia cinética total (EC) é a soma da energia da translação do centro de massa e da energia da rotação em torno do centro de massa:
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente.
Energia da translação:
A energia de translação é dada por:
onde:
-
é a massa da roda -
é a velocidade de translação do centro de massa
Energia da rotação:
A energia de rotação em torno do centro de massa é:
onde:
-
é o momento de inércia da roda em relação ao centro de massa -
é a velocidade angular
Como a roda está rolando sem deslizar, a relação entre
e
é:
Substituindo
na expressão da energia de rotação:
Passo 4
Agora, somamos as duas energias para obter a energia cinética total:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética total usando a relação da energia de rotação em torno do ponto de contato instantâneo com a estrada.
A energia de rotação em torno desse ponto é:
onde:
-
é o momento de inércia da roda em relação ao ponto de contato -
continua a mesma relação
Substituindo os valores:
Passo 6
Vimos que, de duas maneiras diferentes, chegamos à mesma expressão para a energia cinética total:
Isso confirma que a energia cinética calculada pela soma das energias de translação e rotação em torno do centro de massa é igual à energia de rotação em torno do ponto de contato instantâneo com a estrada.
Resposta
A energia cinética total da roda é
.