Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: © Combine os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que
Mostre ambas as igualdades. A última expressão é um produto matricial; denota uma matriz coluna de números e , o til sobre denota a matriz transposta (neste caso, uma linha) e I é o tensor momento de inércia. Este resultado é de fato muito importante, pois ele corresponde ao resultado muito mais óbvio de que para uma partícula, .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a energia cinética de rotação pode ser expressa de duas maneiras diferentes:
Aqui, é o vetor de velocidade angular, é o momento angular, é o tensor momento de inércia, e a tilde sobre indica a matriz transposta. Vamos usar conceitos de vetores e matrizes para derivar essas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular está relacionado à velocidade angular pelo tensor de momento de inércia :
Aqui, é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em torno dos eixos de rotação.

Passo 3

Agora, a energia cinética de rotação pode ser expressa como:
O ponto entre e representa o produto escalar entre os dois vetores.

Passo 4

Substituindo pela expressão que encontramos no Passo 2, temos:
Isso nos leva à segunda igualdade que precisamos demonstrar.

Passo 5

O produto escalar pode ser reescrito em termos de matrizes. Lembre-se que o produto escalar de dois vetores pode ser expresso como o produto da transposta de um vetor pela matriz que multiplica o outro vetor:
Aqui, é a matriz transposta de , ou seja, ela vira uma linha em vez de uma coluna.

Passo 6

Portanto, substituindo essa expressão na equação da energia cinética, temos:
Assim, mostramos que a energia cinética de rotação pode ser expressa tanto pelo produto escalar quanto pelo produto matricial .

Resposta

Concluímos que a energia cinética de rotação pode ser expressa como:
Isso confirma as igualdades solicitadas no exercício.

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