Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: © Combine os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que
Mostre ambas as igualdades. A última expressão é um produto matricial;
denota uma matriz coluna
de números
e
, o til sobre
denota a matriz transposta (neste caso, uma linha) e I é o tensor momento de inércia. Este resultado é de fato muito importante, pois ele corresponde ao resultado muito mais óbvio de que para uma partícula,
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a energia cinética de rotação
pode ser expressa de duas maneiras diferentes:
Aqui,
é o vetor de velocidade angular,
é o momento angular,
é o tensor momento de inércia, e a tilde sobre
indica a matriz transposta. Vamos usar conceitos de vetores e matrizes para derivar essas igualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
está relacionado à velocidade angular
pelo tensor de momento de inércia
:
Aqui,
é uma matriz
que descreve como a massa está distribuída em torno dos eixos de rotação.
Passo 3
Agora, a energia cinética de rotação
pode ser expressa como:
O ponto entre
e
representa o produto escalar entre os dois vetores.
Passo 4
Substituindo
pela expressão
que encontramos no Passo 2, temos:
Isso nos leva à segunda igualdade que precisamos demonstrar.
Passo 5
O produto escalar
pode ser reescrito em termos de matrizes. Lembre-se que o produto escalar de dois vetores pode ser expresso como o produto da transposta de um vetor pela matriz que multiplica o outro vetor:
Aqui,
é a matriz transposta de
, ou seja, ela vira uma linha em vez de uma coluna.
Passo 6
Portanto, substituindo essa expressão na equação da energia cinética, temos:
Assim, mostramos que a energia cinética de rotação pode ser expressa tanto pelo produto escalar
quanto pelo produto matricial
.
Resposta
Concluímos que a energia cinética de rotação
pode ser expressa como:
Isso confirma as igualdades solicitadas no exercício.