Considere um corpo plano rígido ou “lâmina”, tal como um pedaço de folha de metal, girando em torno de um ponto no corpo. Se escolhermos eixos tais que a lâmina esteja no plano , quais elementos do tensor de inércia serão automaticamente zero? Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina rígida, tipo um pedaço de folha de metal, girando em torno de um ponto chamado . Essa lâmina tá no plano . A gente precisa descobrir quais elementos do tensor de inércia são zero automaticamente e mostrar que . Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e tensor de inércia pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. É uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os elementos principais são , e , que representam a inércia em torno dos eixos , e , respectivamente. Além disso, temos os produtos de inércia , e .
Como a lâmina está no plano , não tem massa distribuída ao longo do eixo . Isso significa que os produtos de inércia que envolvem o eixo vão ser zero. Ou seja, e . Além disso, como não há torque em torno de fora do plano, é a única componente relevante para a rotação.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . Esse resultado �� conhecido como o Teorema do Eixo Perpendicular. Ele diz que para um objeto plano no plano , a inércia em torno do eixo é a soma das inércias em torno dos eixos e .
Para provar isso, considere que:
Somando e :
Então, mostramos que .

Resposta

Para uma lâmina no plano , os elementos e do tensor de inércia são automaticamente zero. Além disso, vale que .

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