Considere um corpo plano rígido ou “lâmina”, tal como um pedaço de folha de metal, girando em torno de um ponto
no corpo. Se escolhermos eixos tais que a lâmina esteja no plano
, quais elementos do tensor de inércia
serão automaticamente zero? Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina rígida, tipo um pedaço de folha de metal, girando em torno de um ponto chamado
. Essa lâmina tá no plano
. A gente precisa descobrir quais elementos do tensor de inércia
são zero automaticamente e mostrar que
. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e tensor de inércia pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. É uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os elementos principais são
,
e
, que representam a inércia em torno dos eixos
,
e
, respectivamente. Além disso, temos os produtos de inércia
,
e
.
Como a lâmina está no plano
, não tem massa distribuída ao longo do eixo
. Isso significa que os produtos de inércia que envolvem o eixo
vão ser zero. Ou seja,
e
. Além disso, como não há torque em torno de
fora do plano,
é a única componente relevante para a rotação.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. Esse resultado �� conhecido como o Teorema do Eixo Perpendicular. Ele diz que para um objeto plano no plano
, a inércia em torno do eixo
é a soma das inércias em torno dos eixos
e
.
Para provar isso, considere que:
Somando
e
:
Então, mostramos que
.
Resposta
Para uma lâmina no plano
, os elementos
e
do tensor de inércia são automaticamente zero. Além disso, vale que
.