O momento de inércia de uma distribuição contínua de massa com densidade é obtido convertendo o somatório de (10.25) na integral de volume . (Observe as duas formas da letra grega “rho”: distância a partir do eixo densidade de massa.) Determine o momento de inércia de um cilindro circular de raio e massa em rotação em torno de seu eixo. Explique por que os produtos de inércia são zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o momento de inércia de um cilindro circular que gira em torno do seu eixo. Isso está relacionado ao conteúdo de Momento de Inércia na física. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de volume e aplicar a definição de momento de inércia para objetos com distribuição contínua de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia em relação a um eixo é:
Aqui, é a densidade de massa, é a distância dos pontos da massa ao eixo de rotação, e é um elemento de volume.

Passo 3

Para um cilindro circular uniforme de raio e massa total , a densidade de massa é constante e pode ser calculada como:
onde é a altura do cilindro.

Passo 4

Como o cilindro é simétrico e estamos rotacionando em torno do seu eixo central , podemos simplificar a integral para calcular o momento de inércia. Vamos considerar um elemento de massa em uma posição com distância do eixo .

Passo 5

Vamos parametrizar o cilindro em coordenadas cilíndricas, onde . Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma a uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão de :

Passo 8

Sabemos que a massa total do cilindro é:
Vamos substituir na expressão do momento de inércia:

Passo 9

Agora, sobre os produtos de inércia. Eles medem a distribuição de massa em relação a dois eixos diferentes. No caso de um cilindro simétrico em relação ao eixo , as distribuições de massa em direções perpendiculares são simétricas. Isso faz com que os produtos de inércia sejam zero, pois não há acúmulo de massa preferencialmente em nenhuma direção específica perpendicular ao eixo de rotação.

Resposta

O momento de inércia do cilindro circular em rotação ao redor do seu eixo é . Além disso, os produtos de inércia são zero devido à simetria do cilindro em relação ao eixo de rotação.

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