Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: (b) Mostre que o momento angular do corpo pode ser escrito como
Para isso, você necessitará da regra conhecida como , que significa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos como o momento angular de um corpo pode ser escrito de uma forma específica usando identidades vetoriais e matriciais. A matéria envolvida aqui é a mecânica clássica, mais especificamente o estudo do momento angular. Para resolver, vamos precisar usar a identidade vetorial conhecida como , que é uma forma de simplificar o produto vetorial de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. O momento angular de uma partícula é definido como o produto vetorial da posição pela quantidade de movimento :
Onde:
  • é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de rotação.
  • é a quantidade de movimento, sendo a massa e a velocidade da partícula.

Passo 3

Sabendo que a velocidade de uma partícula em rotação é dada pelo produto vetorial entre a velocidade angular e o vetor posição :
Substituindo isso na expressão do momento angular:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a identidade vetorial , que diz:
Aqui, podemos identificar:

Passo 5

Aplicando a identidade na expressão do momento angular:
Sabemos que , onde é a magnitude de :

Passo 6

Como estamos lidando com um sistema de várias partículas, precisamos somar essa expressão para todas as partículas do sistema. Assim, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que o momento angular do corpo pode ser escrito como

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