Aqui, está um bom exercício de identidades vetoriais e matriciais, conduzindo a alguns resultados importantes: (b) Mostre que o momento angular
do corpo pode ser escrito como
Para isso, você necessitará da regra conhecida como
, que significa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos como o momento angular
de um corpo pode ser escrito de uma forma específica usando identidades vetoriais e matriciais. A matéria envolvida aqui é a mecânica clássica, mais especificamente o estudo do momento angular. Para resolver, vamos precisar usar a identidade vetorial conhecida como
, que é uma forma de simplificar o produto vetorial de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. O momento angular
de uma partícula é definido como o produto vetorial da posição
pela quantidade de movimento
:
Onde:
-
é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de rotação. -
é a quantidade de movimento, sendo a massa e a velocidade da partícula.
Passo 3
Sabendo que a velocidade
de uma partícula em rotação é dada pelo produto vetorial entre a velocidade angular
e o vetor posição
:
Substituindo isso na expressão do momento angular:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a identidade vetorial
, que diz:
Aqui, podemos identificar:
Passo 5
Aplicando a identidade na expressão do momento angular:
Sabemos que
, onde
é a magnitude de
:
Passo 6
Como estamos lidando com um sistema de várias partículas, precisamos somar essa expressão para todas as partículas do sistema. Assim, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que o momento angular
do corpo pode ser escrito como