Um triângulo metálico plano, fino e uniforme está no plano
com vértices em ( 1 ,
e na origem. A densidade superficial (massa/área) do triângulo é
. (Distâncias e massas são medidas em uma unidade não especificada, e o número 24 foi escolhido para tornar a resposta mais atraente.) (b) Quais são os momentos principais e os eixos correspondentes?
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui um triângulo no plano
com vértices em
,
e na origem
. A densidade superficial é
. A pergunta é sobre encontrar os momentos principais e os eixos correspondentes desse triângulo. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente o cálculo de momenta de inércia e como encontrar os momentos principais através da diagonalização do tensor de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro de massa do triângulo. Como ele é uniforme, o centro de massa é o ponto médio dos vértices. As coordenadas do centro de massa
são dadas por:
Então, o centro de massa está em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados que passam pelo centro de massa. Para isso, usamos as fórmulas de momentos de inércia para triângulos. A massa total
do triângulo é:
A área do triângulo com vértices em
,
e
é:
Então,
Passo 4
Os momentos de inércia em relação aos eixos
e
são dados por:
Como os lados
e
são iguais a 1, temos:
Passo 5
O produto de inércia
para esse triângulo é zero devido à simetria:
Com isso, o tensor de inércia fica diagonal:
Passo 6
Como o tensor de inércia é diagonal e os produtos de inércia são zero, os momentos principais são iguais e coincidem com os momentos
e
. Portanto, os momentos principais são
e os eixos principais coincidem com os eixos
e
.
Resposta
Os momentos principais são
e os eixos principais coincidem com os eixos
e
do triângulo.