Um triângulo metálico plano, fino e uniforme está no plano com vértices em ( 1 , e na origem. A densidade superficial (massa/área) do triângulo é . (Distâncias e massas são medidas em uma unidade não especificada, e o número 24 foi escolhido para tornar a resposta mais atraente.) (b) Quais são os momentos principais e os eixos correspondentes?

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui um triângulo no plano com vértices em , e na origem . A densidade superficial é . A pergunta é sobre encontrar os momentos principais e os eixos correspondentes desse triângulo. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente o cálculo de momenta de inércia e como encontrar os momentos principais através da diagonalização do tensor de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro de massa do triângulo. Como ele é uniforme, o centro de massa é o ponto médio dos vértices. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Então, o centro de massa está em .

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados que passam pelo centro de massa. Para isso, usamos as fórmulas de momentos de inércia para triângulos. A massa total do triângulo é:
Á
A área do triângulo com vértices em , e é:
Á
Então,

Passo 4

Os momentos de inércia em relação aos eixos e são dados por:
Como os lados e são iguais a 1, temos:

Passo 5

O produto de inércia para esse triângulo é zero devido à simetria:
Com isso, o tensor de inércia fica diagonal:

Passo 6

Como o tensor de inércia é diagonal e os produtos de inércia são zero, os momentos principais são iguais e coincidem com os momentos e . Portanto, os momentos principais são e os eixos principais coincidem com os eixos e .

Resposta

Os momentos principais são e os eixos principais coincidem com os eixos e do triângulo.

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