O resultado (10.7), em que , pode ser reexpresso para dizer que o vetor posição do CM relativo ao CM é zero, e, nessa forma, ele é quase óbvio. Entretanto, para ter certeza de que você entendeu o resultado, demonstre-o resolvendo (10.4) para e substituindo no somatório correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para demonstrar que a soma . Isso está relacionado ao conceito de Centro de Massa (CM) na física. Para resolver isso, vamos usar uma equação que relaciona a posição de cada partícula com o centro de massa e, em seguida, substituir na soma para mostrar que o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do vetor posição de cada partícula em relação ao centro de massa. A equação (10.4) provavelmente define essa relação da seguinte forma:
Aqui:
  • é o vetor posição da partícula em relação a um referencial fixo.
  • é o vetor posição do centro de massa em relação ao mesmo referencial.
  • é o vetor posição da partícula em relação ao centro de massa.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a partir dessa equação. Para isso, vamos isolar :

Passo 4

Agora, vamos somar todos os vetores ponderados pelas suas massas :

Passo 5

Vamos distribuir a soma:

Passo 6

Sabemos que a soma das massas multiplicadas pelo vetor posição das partículas é igual à massa total multiplicada pelo vetor posição do centro de massa:
E também, a soma das massas é a massa total :

Passo 7

Substituindo esses resultados na equação anterior:

Resposta

Assim, demonstramos que , ou seja, o vetor posição do centro de massa relativo ao próprio centro de massa é zero.

Exercícios de Livros Relacionados