O resultado (10.7), em que
, pode ser reexpresso para dizer que o vetor posição do CM relativo ao CM é zero, e, nessa forma, ele é quase óbvio. Entretanto, para ter certeza de que você entendeu o resultado, demonstre-o resolvendo (10.4) para
e substituindo no somatório correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para demonstrar que a soma
. Isso está relacionado ao conceito de Centro de Massa (CM) na física. Para resolver isso, vamos usar uma equação que relaciona a posição de cada partícula com o centro de massa e, em seguida, substituir na soma para mostrar que o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do vetor posição de cada partícula em relação ao centro de massa. A equação (10.4) provavelmente define essa relação da seguinte forma:
Aqui:
-
é o vetor posição da partícula em relação a um referencial fixo. -
é o vetor posição do centro de massa em relação ao mesmo referencial. -
é o vetor posição da partícula em relação ao centro de massa.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
a partir dessa equação. Para isso, vamos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos somar todos os vetores
ponderados pelas suas massas
:
Passo 5
Vamos distribuir a soma:
Passo 6
Sabemos que a soma das massas multiplicadas pelo vetor posição das partículas é igual à massa total
multiplicada pelo vetor posição do centro de massa:
E também, a soma das massas é a massa total
:
Passo 7
Substituindo esses resultados na equação anterior:
Resposta
Assim, demonstramos que
, ou seja, o vetor posição do centro de massa relativo ao próprio centro de massa é zero.