(a) Mostre que, em coordenadas cilíndricas polares, uma integral de volume assume a forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em coordenadas cilíndricas polares, uma integral de volume pode ser escrita como
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas e como expressar o elemento de volume nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de descrever a posição de um ponto no espaço usando três parâmetros:
-
: a distância radial do ponto até o eixo . -
: o ângulo em torno do eixo , similar ao ângulo em coordenadas polares. -
: a altura do ponto em relação ao plano , igual nas coordenadas cartesianas.
Essas coordenadas são úteis especialmente para problemas com simetria circular ou cilíndrica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano, o elemento de volume é simplesmente
. Em coordenadas cilíndricas, esse elemento muda para levar em conta a curvatura.
Para descobrir como fica, consideramos pequenos incrementos em cada uma das coordenadas:
- Um pequeno aumento em
é . - Um pequeno aumento em
é . - Um pequeno aumento em
é .
No entanto, quando
varia, o comprimento correspondente a essa variação não é apenas
, mas sim a distância ao redor do círculo de raio
, que é
.
Passo 4
Então, o elemento de área no plano radial (
e
) é dado por:
Multiplicando isso pela variação ao longo do eixo
, obtemos o elemento de volume:
Passo 5
Com o elemento de volume identificado, podemos reescrever a integral de volume em coordenadas cilíndricas. A integral que estamos tentando mostrar, portanto, fica:
Isso mostra como a integral de volume se decompoe em integrais sobre
,
e
, utilizando o elemento de volume específico das coordenadas cilíndricas.
Resposta
Portanto, mostramos que em coordenadas cilíndricas polares, a integral de volume é dada por