(a) Mostre que, em coordenadas cilíndricas polares, uma integral de volume assume a forma

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em coordenadas cilíndricas polares, uma integral de volume pode ser escrita como
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas e como expressar o elemento de volume nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de descrever a posição de um ponto no espaço usando três parâmetros:
  • : a distância radial do ponto até o eixo .
  • : o ângulo em torno do eixo , similar ao ângulo em coordenadas polares.
  • : a altura do ponto em relação ao plano , igual nas coordenadas cartesianas.
Essas coordenadas são úteis especialmente para problemas com simetria circular ou cilíndrica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano, o elemento de volume é simplesmente . Em coordenadas cilíndricas, esse elemento muda para levar em conta a curvatura.
Para descobrir como fica, consideramos pequenos incrementos em cada uma das coordenadas:
  • Um pequeno aumento em é .
  • Um pequeno aumento em é .
  • Um pequeno aumento em é .
No entanto, quando varia, o comprimento correspondente a essa variação não é apenas , mas sim a distância ao redor do círculo de raio , que é .

Passo 4

Então, o elemento de área no plano radial ( e ) é dado por:
Multiplicando isso pela variação ao longo do eixo , obtemos o elemento de volume:

Passo 5

Com o elemento de volume identificado, podemos reescrever a integral de volume em coordenadas cilíndricas. A integral que estamos tentando mostrar, portanto, fica:
Isso mostra como a integral de volume se decompoe em integrais sobre , e , utilizando o elemento de volume específico das coordenadas cilíndricas.

Resposta

Portanto, mostramos que em coordenadas cilíndricas polares, a integral de volume é dada por

Exercícios de Livros Relacionados