Um corpo rígido consiste de três massas presas nos pontos e . (b) Determine os momentos principais e um conjunto de eixos principais ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um corpo rígido formado por três massas iguais, cada uma de massa , localizadas nos pontos , e . O que precisamos fazer aqui é descobrir os momentos principais e um conjunto de eixos principais ortogonais desse sistema. Isso envolve conceitos de mecânica rígida, especificamente sobre o tensor de inércia e seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação e é fundamental para determinar os momentos principais e os eixos principais. Para pontos de massa, os componentes do tensor de inércia são calculados usando as coordenadas das massas.

Passo 3

Vamos calcular os componentes do tensor de inércia. As fórmulas para cada componente são:

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas usando as coordenadas dadas:
  • Para o ponto :
    • , ,
  • Para o ponto :
    • , ,
  • Para o ponto :
    • , ,
Calculando cada componente:

Passo 5

Agora, montamos o tensor de inércia:

Passo 6

Para encontrar os momentos principais, precisamos calcular os autovalores desse tensor. Isso envolve resolver o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática para :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os momentos principais são e . Note que não é físico nesse contexto, então consideramos apenas os valores positivos.

Passo 7

Agora, para encontrar os eixos principais, precisamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos leva a . Então, um autovetor pode ser .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá e . Então, um autovetor pode ser .

Resposta

Os momentos principais são e , e os eixos principais ortogonais correspondentes são as direções dos vetores e .

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