(a) Um corpo rígido está girando livremente sujeito a um torque nulo. Use as equações de Euler (10.88) para mostrar que a magnitude do momento angular
é constante. (Multiplique a
-ésima equação por
e some as três equações.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que fala sobre um corpo rígido girando livremente sem torque. O conteúdo principal aqui é as Equações de Euler, que descrevem o movimento de um corpo rígido em rotação. Para resolver, vamos precisar entender o que é momento angular e como ele se comporta quando não há torque atuando no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
de um corpo rígido é dado por:
onde
são os momentos de inércia principais e
são as componentes da velocidade angular nas direções dos eixos principais.
Passo 3
As Equações de Euler para um corpo rígido sem torque externo (
) são:
onde
é o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a lidar com os produtos vetoriais.
Passo 4
No caso de nenhum torque atuando, as Equações de Euler se simplificam para:
Isso significa que cada componente do momento angular
é constante no tempo.
Passo 5
Segundo o enunciado, vamos multiplicar cada equação
por
e somar as três equações. Fazendo isso, temos:
Passo 6
Observamos que
. Então, a soma fica:
Passo 7
Isso implica que:
Ou seja, a soma dos quadrados das componentes do momento angular é constante no tempo.
Passo 8
Como a magnitude do momento angular
é dada por:
e a derivada dessa quantidade é zero, concluímos que
é constante.
Resposta
A magnitude do momento angular
permanece constante quando não há torque atuando no corpo rígido.