(a) Um corpo rígido está girando livremente sujeito a um torque nulo. Use as equações de Euler (10.88) para mostrar que a magnitude do momento angular é constante. (Multiplique a -ésima equação por e some as três equações.)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que fala sobre um corpo rígido girando livremente sem torque. O conteúdo principal aqui é as Equações de Euler, que descrevem o movimento de um corpo rígido em rotação. Para resolver, vamos precisar entender o que é momento angular e como ele se comporta quando não há torque atuando no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular de um corpo rígido é dado por:
onde são os momentos de inércia principais e são as componentes da velocidade angular nas direções dos eixos principais.

Passo 3

As Equações de Euler para um corpo rígido sem torque externo ( ) são:
onde é o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a lidar com os produtos vetoriais.

Passo 4

No caso de nenhum torque atuando, as Equações de Euler se simplificam para:
Isso significa que cada componente do momento angular é constante no tempo.

Passo 5

Segundo o enunciado, vamos multiplicar cada equação por e somar as três equações. Fazendo isso, temos:

Passo 6

Observamos que . Então, a soma fica:

Passo 7

Isso implica que:
Ou seja, a soma dos quadrados das componentes do momento angular é constante no tempo.

Passo 8

Como a magnitude do momento angular é dada por:
e a derivada dessa quantidade é zero, concluímos que é constante.

Resposta

A magnitude do momento angular permanece constante quando não há torque atuando no corpo rígido.

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