Um triângulo metálico plano, fino e uniforme está no plano com vértices em ( 1 , e na origem. A densidade superficial (massa/área) do triângulo é . (Distâncias e massas são medidas em uma unidade não especificada, e o número 24 foi escolhido para tornar a resposta mais atraente.) (a) Determine o tensor de inércia I do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo metálico no plano com vértices em , e na origem . A densidade superficial é . Nosso objetivo aqui é descobrir o tensor de inércia desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o tensor de inércia para objetos planos e usar integrais para determinar os componentes do tensor.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo no plano . Os vértices são , e . Esse triângulo é um triângulo retângulo isósceles no primeiro quadrante. Vamos parametrizar a área desse triângulo para facilitar as integrações.

Passo 3

A massa total do triângulo pode ser calculada multiplicando a densidade superficial pela área do triângulo. Como é um triângulo retângulo, a área é:
Então, a massa total é:

Passo 4

Agora, vamos calcular os componentes do tensor de inércia. O tensor para um objeto no plano tem a seguinte forma:
Onde:
Vamos precisar calcular cada uma dessas integrais sobre a área do triângulo.

Passo 5

Para facilitar as integrações, vamos usar coordenadas cartesianas e definir os limites de integração. No triângulo, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
Vamos calcular :
Integrando em relação a :
Então:
Integrando em relação a :
Portanto:
De forma similar, vamos calcular :
Expandindo :
Integrando:
Então:
Agora, :
Por fim, :
Expandindo:
Mas, como é no tensor, temos .

Resposta

O tensor de inércia do triângulo é dado por:

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