Um corpo rígido é composto de 8 massas iguais distribuídas nos vértices de um cubo de lado , que são mantidos ligados por uma barra de massa desprezível. (a) Use as definições (10.37) e (10.38) para determinar o tensor momento de inércia I para a rotação em torno de um vértice do cubo. (Use eixos ao longo das três arestas passando por .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o tensor momento de inércia de um cubo com 8 massas iguais nos vértices, quando ele gira em torno de um dos vértices . Vamos precisar entender o que é o tensor momento de inércia e como aplicá-lo usando as definições dadas (provavelmente fórmulas específicas do material de estudo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor momento de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. As definições (10.37) e (10.38) provavelmente nos dão as fórmulas para calcular os componentes desse tensor. Geralmente, o tensor tem elementos que envolvem as coordenadas das massas em relação aos eixos de rotação.

Passo 3

Vamos estabelecer nosso sistema de coordenadas. Como o cubo está rotacionando ao redor do vértice , podemos colocar esse vértice na origem do sistema de coordenadas. Os eixos , e estarão alinhados com as arestas do cubo que partem de . Assim, as coordenadas dos outros vértices serão , , , , , , , e . No entanto, como estamos considerando apenas as massas nos vértices, ignoramos as barras.

Passo 4

Agora, vamos calcular os componentes do tensor momento de inércia. Os elementos da diagonal principal , e são calculados somando , , e para cada massa, respectivamente. Os elementos fora da diagonal, como , e , são calculados como , e .

Passo 5

Vamos aplicar esses cálculos para cada uma das 8 massas. Como os vértices são simétricos, muitos termos vão se cancelar ou se somar de forma simples. Por exemplo, para , somamos para todas as massas, mas devido à simetria, algumas coordenadas são iguais ou opostas, simplificando a soma.

Passo 6

Após calcular todos os componentes, organizamos os valores em uma matriz. Considerando todas as simetrias e fazendo as contas, o tensor momento de inércia em torno do vértice fica da seguinte maneira:

Resposta

O tensor momento de inércia para a rotação em torno do vértice do cubo é:

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