(a) Se denota o tensor momento de inércia de um corpo rígido (massa ) em torno do seu e o tensor correspondente em torno de um ponto deslocado do CM por , mostre que
e assim por diante. (Esses resultados, os quais generalizam o teorema dos eixos paralelos que você provavelmente aprendeu no curso introdutório de física, significam que tão logo se obtenha o tensor de inércia para rotação em torno do CM, calculá-lo agora para qualquer outra origem é realmente fácil.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos como o tensor de momento de inércia de um corpo rígido muda quando mudamos o ponto de referência de seu centro de massa (CM) para um outro ponto que está deslocado por um vetor . Estamos trabalhando com conceitos de física relacionados ao tensor de inércia e ao teorema dos eixos paralelos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o tensor de inércia se transforma quando mudamos o ponto de referência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de momento de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos seus eixos de rotação. Para um corpo rígido com massa , o tensor de inércia em relação ao centro de massa (CM) é denotado por .
Quando queremos calcular o tensor de inércia em relação a um ponto que não é o CM, precisamos ajustar para levar em conta o deslocamento entre o CM e . Esse ajuste é feito usando uma forma generalizada do teorema dos eixos paralelos.

Passo 3

O teorema dos eixos paralelos nos diz que o tensor de inércia em relação a um ponto deslocado do CM por um vetor é dado por:
Aqui, é a matriz identidade e representa o produto tensorial. Vamos simplificar essa expressão para encontrar os componentes específicos e .

Passo 4

Vamos calcular o componente primeiro. De acordo com a fórmula acima, temos:
Isso acontece porque , e ao multiplicar pela matriz identidade e subtrair o produto tensorial , os termos com se cancelam para o componente , restando apenas .

Passo 5

Agora, vamos calcular o componente . Usando a mesma fórmula, temos:
Aqui, o termo surge diretamente do produto tensorial , que contribui negativamente para os componentes fora da diagonal do tensor de inércia.

Resposta

Assim, mostramos que ao deslocar o ponto de referência do tensor de momento de inércia do centro de massa para um ponto distante por , temos:
Esses resultados generalizam o teorema dos eixos paralelos, facilitando o cálculo do tensor de inércia em qualquer origem a partir do tensor no centro de massa.

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