(a) Se
denota o tensor momento de inércia de um corpo rígido (massa
) em torno do seu
e
o tensor correspondente em torno de um ponto
deslocado do CM por
, mostre que
e assim por diante. (Esses resultados, os quais generalizam o teorema dos eixos paralelos que você provavelmente aprendeu no curso introdutório de física, significam que tão logo se obtenha o tensor de inércia para rotação em torno do CM, calculá-lo agora para qualquer outra origem é realmente fácil.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos como o tensor de momento de inércia de um corpo rígido muda quando mudamos o ponto de referência de seu centro de massa (CM) para um outro ponto
que está deslocado por um vetor
. Estamos trabalhando com conceitos de física relacionados ao tensor de inércia e ao teorema dos eixos paralelos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o tensor de inércia se transforma quando mudamos o ponto de referência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de momento de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos seus eixos de rotação. Para um corpo rígido com massa
, o tensor de inércia em relação ao centro de massa (CM) é denotado por
.
Quando queremos calcular o tensor de inércia em relação a um ponto
que não é o CM, precisamos ajustar
para levar em conta o deslocamento entre o CM e
. Esse ajuste é feito usando uma forma generalizada do teorema dos eixos paralelos.
Passo 3
O teorema dos eixos paralelos nos diz que o tensor de inércia em relação a um ponto
deslocado do CM por um vetor
é dado por:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa o produto tensorial. Vamos simplificar essa expressão para encontrar os componentes específicos
e
.
Passo 4
Vamos calcular o componente
primeiro. De acordo com a fórmula acima, temos:
Isso acontece porque
, e ao multiplicar pela matriz identidade e subtrair o produto tensorial
, os termos com
se cancelam para o componente
, restando apenas
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o componente
. Usando a mesma fórmula, temos:
Aqui, o termo
surge diretamente do produto tensorial
, que contribui negativamente para os componentes fora da diagonal do tensor de inércia.
Resposta
Assim, mostramos que ao deslocar o ponto de referência do tensor de momento de inércia do centro de massa para um ponto
distante por
, temos:
Esses resultados generalizam o teorema dos eixos paralelos, facilitando o cálculo do tensor de inércia em qualquer origem a partir do tensor no centro de massa.