Aqui está um exemplo simples de uma transformação canônica que ilustra como o formalismo Hamiltoniano permite misturar s e s. Considere um sistema com um grau de liberdade e a Hamiltoniana . As equações de movimento são, naturalmente, as equações usuais de Hamilton e . Agora, considere novas coordenadas no espaço de fase defindas como e . Mostre que as equações de movimento para as novas coordenadas e são e , isto é, o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas escolhas de coordenadas, onde fizemos uma permutação dos papéis da posição com o momento.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Estamos trabalhando com a mecânica Hamiltoniana, que é uma formulação da física para sistemas com uma ou mais partículas. A questão nos pede para mostrar que, ao trocar as coordenadas clássicas e o momento por novas coordenadas e , as equações de movimento de Hamilton continuam válidas com essas novas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações de Hamilton funcionam e como aplicar uma transformação canônica, que é basicamente uma mudança de coordenadas no espaço de fase que preserva a forma das equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de movimento de Hamilton para um sistema com uma coordenada e seu momento conjugado :
Aqui, é a Hamiltoniana do sistema, que geralmente representa a energia total.

Passo 3

Agora, queremos introduzir novas coordenadas de fase e definidas como:
Isso significa que estamos basicamente trocando o papel de e , mas com um sinal negativo para .

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar as novas equações de movimento em termos de e . Para isso, vamos calcular as derivadas de e em relação ao tempo:

Passo 5

Usando as equações de Hamilton originais, podemos substituir e :

Passo 6

Agora, queremos expressar essas derivadas em termos de e . Lembre-se que e , então podemos reescrever as derivadas parciais da Hamiltoniana:

Passo 7

Substituindo essas expressões nas equações para e , temos:

Resposta

Assim, mostramos que as equações de movimento para as novas coordenadas e são:
Isso confirma que o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas coordenadas, mesmo após a troca dos papéis de posição e momento.

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