Aqui está um exemplo simples de uma transformação canônica que ilustra como o formalismo Hamiltoniano permite misturar
s e
s. Considere um sistema com um grau de liberdade e a Hamiltoniana
. As equações de movimento são, naturalmente, as equações usuais de Hamilton
e
. Agora, considere novas coordenadas no espaço de fase defindas como
e
. Mostre que as equações de movimento para as novas coordenadas
e
são
e
, isto é, o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas escolhas de coordenadas, onde fizemos uma permutação dos papéis da posição com o momento.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Estamos trabalhando com a mecânica Hamiltoniana, que é uma formulação da física para sistemas com uma ou mais partículas. A questão nos pede para mostrar que, ao trocar as coordenadas clássicas
e o momento
por novas coordenadas
e
, as equações de movimento de Hamilton continuam válidas com essas novas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações de Hamilton funcionam e como aplicar uma transformação canônica, que é basicamente uma mudança de coordenadas no espaço de fase que preserva a forma das equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações de movimento de Hamilton para um sistema com uma coordenada
e seu momento conjugado
:
Aqui,
é a Hamiltoniana do sistema, que geralmente representa a energia total.
Passo 3
Agora, queremos introduzir novas coordenadas de fase
e
definidas como:
Isso significa que estamos basicamente trocando o papel de
e
, mas com um sinal negativo para
.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar as novas equações de movimento em termos de
e
. Para isso, vamos calcular as derivadas de
e
em relação ao tempo:
Passo 5
Usando as equações de Hamilton originais, podemos substituir
e
:
Passo 6
Agora, queremos expressar essas derivadas em termos de
e
. Lembre-se que
e
, então podemos reescrever as derivadas parciais da Hamiltoniana:
Passo 7
Substituindo essas expressões nas equações para
e
, temos:
Resposta
Assim, mostramos que as equações de movimento para as novas coordenadas
e
são:
Isso confirma que o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas coordenadas, mesmo após a troca dos papéis de posição e momento.