Aqui, temos um exemplo diferente de coisas desagradáveis que podem acontecer com equações não lineares. Considere a equação não linear . Como esta é de primeira ordem, poderíamos esperar que a especificação de pudesse determinar uma única solução. Mostre que para esta equação há duas soluções diferentes, ambas satisfazendo a condição inicial . [Sugestão: determine uma solução por separação de variáveis, mas observe que é outra solução. Felizmente, nenhuma das equações encontradas na mecânica clássica sofre dessa desagradável ambiguidade.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial não linear de primeira ordem: . A tarefa é mostrar que, mesmo especificando , existem duas soluções diferentes para essa equação. Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver equações diferenciais onde a variável e a variável podem ser separadas em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação usando separação de variáveis. A equação representa a derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de . A integral do lado esquerdo é com relação a , e a integral do lado direito é com relação a :
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Essa é a solução geral da equação diferencial. Agora, precisamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 5

Aplicando a condição inicial na solução geral:
Isso implica que .

Passo 6

Substituindo na solução geral, temos uma das soluções:
Essa é uma das soluções que satisfazem .

Passo 7

No entanto, a equação diferencial também admite outra solução: . Vamos verificar se ela satisfaz a equação original e a condição inicial.
Primeiro, substituindo na equação :
A igualdade é válida, então é uma solução da equação diferencial.
Além disso, claramente , atendendo à condição inicial.

Resposta

As duas soluções que satisfazem são:

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