Aqui, temos um exemplo diferente de coisas desagradáveis que podem acontecer com equações não lineares. Considere a equação não linear
. Como esta é de primeira ordem, poderíamos esperar que a especificação de
pudesse determinar uma única solução. Mostre que para esta equação há duas soluções diferentes, ambas satisfazendo a condição inicial
. [Sugestão: determine uma solução
por separação de variáveis, mas observe que
é outra solução. Felizmente, nenhuma das equações encontradas na mecânica clássica sofre dessa desagradável ambiguidade.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial não linear de primeira ordem:
. A tarefa é mostrar que, mesmo especificando
, existem duas soluções diferentes para essa equação. Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver equações diferenciais onde a variável
e a variável
podem ser separadas em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
usando separação de variáveis. A equação
representa a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
. A integral do lado esquerdo é com relação a
, e a integral do lado direito é com relação a
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Essa é a solução geral da equação diferencial. Agora, precisamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
na solução geral:
Isso implica que
.
Passo 6
Substituindo
na solução geral, temos uma das soluções:
Essa é uma das soluções que satisfazem
.
Passo 7
No entanto, a equação diferencial também admite outra solução:
. Vamos verificar se ela satisfaz a equação original e a condição inicial.
Primeiro, substituindo
na equação
:
A igualdade é válida, então
é uma solução da equação diferencial.
Além disso, claramente
, atendendo à condição inicial.
Resposta
As duas soluções que satisfazem
são: