Considere o movimento caótico de um PAF para o qual o expoente de Lyapunov é
, com o tempo medido em unidade do período motriz, como usualmente. (Isso é muito grosseiramente o valor encontrado no Problema 12.13.) (b) Suponha que, com um grande gasto de dinheiro e trabalho, você consiga melhorar a acurácia de seu valor inicial para
radianos (uma melhoria de mil vezes). Qual é o horizonte de tempo agora (para a mesma exigência de previsão de acurácia)? Por qual fator
foi melhorado? Seus resultados ilustram a dificuldade de gerar previsões acuradas de longo prazo para o movimento caótico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento caótico de um PAF (Produto Acima da Frequência) com um expoente de Lyapunov igual a
. Basicamente, estamos lidando com sistemas onde pequenas incertezas nas condições iniciais podem crescer exponencialmente ao longo do tempo, tornando previsões de longo prazo bem complicadas. Para resolver essa questão, vamos usar a relação entre a precisão inicial, o expoente de Lyapunov e o horizonte de tempo para manter a acurácia na previsão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a incerteza inicial
influencia a previsão ao longo do tempo. Em sistemas caóticos, a incerteza cresce exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
Aqui,
é a incerteza no tempo
,
é a incerteza inicial, e
é o expoente de Lyapunov.
Passo 3
O horizonte de tempo
é o tempo até o qual podemos prever o sistema com uma precisão aceitável. Para encontrar esse horizonte, fixamos a incerteza final desejada
e resolvemos a equação para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Passo 4
Inicialmente, suponhamos que a precisão inicial era
radianos. Queremos manter a mesma precisão final após o tempo
. Então, usando a fórmula acima:
Como não foi especificado
, podemos considerar que a relação para o novo cenário será semelhante, apenas com
radianos.
Passo 5
Com a nova precisão inicial de
radianos, o novo horizonte de tempo é:
Para encontrar o fator de melhoria
, comparamos os dois horizontes de tempo:
Simplificando:
Aqui, percebemos que na verdade o fator de melhoria é equivalente a adicionar 6.907 unidades de tempo ao horizonte original, já que
.
Resposta
Com a melhoria da precisão inicial para
radianos, o horizonte de tempo
aumentou em aproximadamente
unidades de tempo. Isso mostra que, mesmo com uma precisão inicial muito maior, ainda enfrentamos grandes desafios para fazer previsões precisas a longo prazo em sistemas caóticos devido ao crescimento exponencial das incertezas.