Considere o movimento caótico de um PAF para o qual o expoente de Lyapunov é , com o tempo medido em unidade do período motriz, como usualmente. (Isso é muito grosseiramente o valor encontrado no Problema 12.13.) (b) Suponha que, com um grande gasto de dinheiro e trabalho, você consiga melhorar a acurácia de seu valor inicial para radianos (uma melhoria de mil vezes). Qual é o horizonte de tempo agora (para a mesma exigência de previsão de acurácia)? Por qual fator á foi melhorado? Seus resultados ilustram a dificuldade de gerar previsões acuradas de longo prazo para o movimento caótico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento caótico de um PAF (Produto Acima da Frequência) com um expoente de Lyapunov igual a . Basicamente, estamos lidando com sistemas onde pequenas incertezas nas condições iniciais podem crescer exponencialmente ao longo do tempo, tornando previsões de longo prazo bem complicadas. Para resolver essa questão, vamos usar a relação entre a precisão inicial, o expoente de Lyapunov e o horizonte de tempo para manter a acurácia na previsão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a incerteza inicial influencia a previsão ao longo do tempo. Em sistemas caóticos, a incerteza cresce exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
Aqui, é a incerteza no tempo , é a incerteza inicial, e é o expoente de Lyapunov.

Passo 3

O horizonte de tempo á é o tempo até o qual podemos prever o sistema com uma precisão aceitável. Para encontrar esse horizonte, fixamos a incerteza final desejada e resolvemos a equação para :
á
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
á
Isolando á:
á

Passo 4

Inicialmente, suponhamos que a precisão inicial era radianos. Queremos manter a mesma precisão final após o tempo á. Então, usando a fórmula acima:
á
Como não foi especificado , podemos considerar que a relação para o novo cenário será semelhante, apenas com radianos.

Passo 5

Com a nova precisão inicial de radianos, o novo horizonte de tempo é:
á
Para encontrar o fator de melhoria , comparamos os dois horizontes de tempo:
áá
Simplificando:
Aqui, percebemos que na verdade o fator de melhoria é equivalente a adicionar 6.907 unidades de tempo ao horizonte original, já que .

Resposta

Com a melhoria da precisão inicial para radianos, o horizonte de tempo á aumentou em aproximadamente unidades de tempo. Isso mostra que, mesmo com uma precisão inicial muito maior, ainda enfrentamos grandes desafios para fazer previsões precisas a longo prazo em sistemas caóticos devido ao crescimento exponencial das incertezas.

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