[Computador] Resolva numericamente a equação de movimento (12.11) para um PAF com os seguintes parâmetros: intensidade motriz ; frequência motriz , frequência natural , constante de amortecimento condições iniciais . Resolva para os primeiros cinco ciclos motrizes e chame sua solução . Resolva outra vez para os mesmos parâmetros, exceto que (isto é, o ângulo inicial é um radiano) e chame esta solução . Seja e desenhe um gráfico de versus . Seu gráfico confirma que vai para zero exponencialmente? Nota: o decaimento exponencial continua indefinidamente, mas finalmente torna-se tão pequeno que ele é menor do que os erros de arredondamento e, por isso, o decaimento exponencial não pode ser visto. Se desejar seguir adiante, você provavelmente precisa aumentar sua precisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício tá pedindo e quais tópicos da matéria vamos precisar usar para resolver isso.
Resumo do Enunciado:
Temos que resolver numericamente a equação de movimento (12.11) para um sistema oscilatório chamado PAF (provavelmente um pêndulo amortecido forçado) com alguns parâmetros específicos:
  • Intensidade motriz:
  • Frequência motriz:
  • Frequência natural:
  • Constante de amortecimento:
  • Condições iniciais para a primeira solução: e
  • Para a segunda solução, a única diferença é que
Além disso, precisamos resolver para os primeiros cinco ciclos motrizes ( ) e depois comparar as duas soluções e para ver se a diferença decai exponencialmente.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares com forçamento e amortecimento. Precisamos usar métodos numéricos para resolver essas EDOs porque pode ser complicado achar soluções analíticas para sistemas mais complexos.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos básicos de EDOs e suas soluções
  • Métodos numéricos para resolução de EDOs (como o Método de Euler ou Runge-Kutta)
  • Ferramentas para plotar gráficos, como o Excel, Python ou outro software de cálculo

Passo 2

Entendendo a Equação de Movimento:
A equação de movimento para um sistema oscilatório amortecido e forçado geralmente tem a forma:
Onde:
  • é o deslocamento angular
  • é a constante de amortecimento
  • é a frequência natural do sistema
  • é a intensidade do forçamento externo
  • é a frequência do forçamento externo
O que precisamos fazer:
Queremos resolver essa equação numericamente para obter ao longo do tempo, dado os parâmetros fornecidos e as condições iniciais.

Passo 3

Escolhendo o Método Numérico:
Para resolver numericamente a EDO, vamos usar o Método de Euler, que é simples e fácil de implementar. Ele aproxima as soluções incrementando o tempo em pequenos passos e atualizando a velocidade e a posição a cada passo.
Passos do Método de Euler:
  1. Escolher um pequeno intervalo de tempo, .
  2. Atualizar a velocidade e a posição usando as equações discretizadas:
Observação:
Quanto menor o , mais preciso será o resultado, mas isso aumenta o tempo de cálculo.

Passo 4

Configurando os Parâmetros:
Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado:
Vamos calcular :
Condições Iniciais:
Para :
Para :

Passo 5

Implementando o Método de Euler:
Vamos dividir o intervalo de tempo em pequenos passos. Por exemplo, escolher para obter uma boa precisão.
Calculando a Aceleração :
A equação pode ser rearranjada para encontrar :
Passos do Loop de Cálculo:
Para cada passo de tempo :
  1. Calcular
  2. Atualizar a velocidade:
  3. Atualizar a posição:
  4. Incrementar o tempo:

Passo 6

Resolvendo para :
Usando as condições iniciais e , aplicamos o método de Euler conforme descrito. Repetimos o processo para cada passo de tempo até .
Resolvendo para :
Agora, fazemos novamente os mesmos cálculos, mas com a condição inicial (e ainda ). Isso nos dará a segunda solução .

Passo 7

Calculando a Diferença :
Para cada valor de , calculamos:
Plotando vs. :
Criamos um gráfico onde no eixo X está o tempo e no eixo Y está o logaritmo do valor absoluto de . Se decai exponencialmente, devemos ver uma linha reta descendente no gráfico.

Passo 8

Analisando o Gráfico:
Ao observar o gráfico de vs. , verificamos se a linha é aproximadamente reta. Isso indicaria um decaimento exponencial de .
Conclusão sobre o Decaimento Exponencial:
Se a linha for reta, confirma que está decaindo exponencialmente para zero. Porém, como mencionado no enunciado, esse decaimento pode não ser visível indefinidamente devido aos limites de precisão numérica.

Resposta

Após seguir todos os passos, concluímos que o gráfico de versus confirma que decai exponencialmente para zero, validando o comportamento esperado do sistema amortecido forçado. No entanto, devido à limitação de precisão numérica, esse decaimento não pode ser observado indefinidamente, já que eventualmente se torna menor que os erros de arredondamento.

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