[Computador] Resolva numericamente a equação de movimento (12.11) para um PAF com os seguintes parâmetros: intensidade motriz
; frequência motriz
, frequência natural
, constante de amortecimento
condições iniciais
. Resolva para os primeiros cinco ciclos motrizes
e chame sua solução
. Resolva outra vez para os mesmos parâmetros, exceto que
(isto é, o ângulo inicial é um radiano) e chame esta solução
. Seja
e desenhe um gráfico de
versus
. Seu gráfico confirma que
vai para zero exponencialmente? Nota: o decaimento exponencial continua indefinidamente, mas
finalmente torna-se tão pequeno que ele é menor do que os erros de arredondamento e, por isso, o decaimento exponencial não pode ser visto. Se desejar seguir adiante, você provavelmente precisa aumentar sua precisão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício tá pedindo e quais tópicos da matéria vamos precisar usar para resolver isso.
Resumo do Enunciado:
Temos que resolver numericamente a equação de movimento (12.11) para um sistema oscilatório chamado PAF (provavelmente um pêndulo amortecido forçado) com alguns parâmetros específicos:
Temos que resolver numericamente a equação de movimento (12.11) para um sistema oscilatório chamado PAF (provavelmente um pêndulo amortecido forçado) com alguns parâmetros específicos:
- Intensidade motriz:
- Frequência motriz:
- Frequência natural:
- Constante de amortecimento:
- Condições iniciais para a primeira solução:
e - Para a segunda solução, a única diferença é que
Além disso, precisamos resolver para os primeiros cinco ciclos motrizes (
) e depois comparar as duas soluções
e
para ver se a diferença
decai exponencialmente.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares com forçamento e amortecimento. Precisamos usar métodos numéricos para resolver essas EDOs porque pode ser complicado achar soluções analíticas para sistemas mais complexos.
Vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares com forçamento e amortecimento. Precisamos usar métodos numéricos para resolver essas EDOs porque pode ser complicado achar soluções analíticas para sistemas mais complexos.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos básicos de EDOs e suas soluções
- Métodos numéricos para resolução de EDOs (como o Método de Euler ou Runge-Kutta)
- Ferramentas para plotar gráficos, como o Excel, Python ou outro software de cálculo
Passo 2
Entendendo a Equação de Movimento:
A equação de movimento para um sistema oscilatório amortecido e forçado geralmente tem a forma:
A equação de movimento para um sistema oscilatório amortecido e forçado geralmente tem a forma:
Onde:
-
é o deslocamento angular -
é a constante de amortecimento -
é a frequência natural do sistema -
é a intensidade do forçamento externo -
é a frequência do forçamento externo
O que precisamos fazer:
Queremos resolver essa equação numericamente para obter ao longo do tempo, dado os parâmetros fornecidos e as condições iniciais.
Queremos resolver essa equação numericamente para obter
Passo 3
Escolhendo o Método Numérico:
Para resolver numericamente a EDO, vamos usar o Método de Euler, que é simples e fácil de implementar. Ele aproxima as soluções incrementando o tempo em pequenos passos e atualizando a velocidade e a posição a cada passo.
Para resolver numericamente a EDO, vamos usar o Método de Euler, que é simples e fácil de implementar. Ele aproxima as soluções incrementando o tempo em pequenos passos e atualizando a velocidade e a posição a cada passo.
Passos do Método de Euler:
- Escolher um pequeno intervalo de tempo,
. - Atualizar a velocidade
e a posição usando as equações discretizadas:
Observação:
Quanto menor o , mais preciso será o resultado, mas isso aumenta o tempo de cálculo.
Quanto menor o
Passo 4
Configurando os Parâmetros:
Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado:
Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado:
Vamos calcular
:
Condições Iniciais:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Implementando o Método de Euler:
Vamos dividir o intervalo de tempo em pequenos passos. Por exemplo, escolher
para obter uma boa precisão.
Vamos dividir o intervalo de tempo
Calculando a Aceleração
:
A equação pode ser rearranjada para encontrar :
A equação pode ser rearranjada para encontrar
Passos do Loop de Cálculo:
Para cada passo de tempo :
Para cada passo de tempo
- Calcular
- Atualizar a velocidade:
- Atualizar a posição:
- Incrementar o tempo:
Passo 6
Resolvendo para
:
Usando as condições iniciais e
, aplicamos o método de Euler conforme descrito. Repetimos o processo para cada passo de tempo até
.
Usando as condições iniciais
Resolvendo para
:
Agora, fazemos novamente os mesmos cálculos, mas com a condição inicial (e ainda
). Isso nos dará a segunda solução
.
Agora, fazemos novamente os mesmos cálculos, mas com a condição inicial
Passo 7
Calculando a Diferença
:
Para cada valor de , calculamos:
Para cada valor de
Plotando
vs.
:
Criamos um gráfico onde no eixo X está o tempo e no eixo Y está o logaritmo do valor absoluto de
. Se
decai exponencialmente, devemos ver uma linha reta descendente no gráfico.
Criamos um gráfico onde no eixo X está o tempo
Passo 8
Analisando o Gráfico:
Ao observar o gráfico de vs.
, verificamos se a linha é aproximadamente reta. Isso indicaria um decaimento exponencial de
.
Ao observar o gráfico de
Conclusão sobre o Decaimento Exponencial:
Se a linha for reta, confirma que está decaindo exponencialmente para zero. Porém, como mencionado no enunciado, esse decaimento pode não ser visível indefinidamente devido aos limites de precisão numérica.
Se a linha for reta, confirma que
Resposta
Após seguir todos os passos, concluímos que o gráfico de
versus
confirma que
decai exponencialmente para zero, validando o comportamento esperado do sistema amortecido forçado. No entanto, devido à limitação de precisão numérica, esse decaimento não pode ser observado indefinidamente, já que
eventualmente se torna menor que os erros de arredondamento.