[Computador] Considere o mapa seno , onde . O comportamento interessante deste mapa é para e , por isso, restrinja sua atenção para estes intervalos. (b) Para que valor de (chame-o ) surge o segundo ponto fixo? Mostre que é também o valor de no qual o primeiro ponto fixo torna-se instável.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um mapa seno definido por , onde . Estamos interessados no intervalo e . A parte (b) da questão quer saber para qual valor de (vamos chamar de ) surge um segundo ponto fixo. Além disso, precisamos mostrar que esse valor de também é onde o primeiro ponto fixo se torna instável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e como determinar a estabilidade deles usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos fixos da função . Ponto fixo é o valor de que satisfaz a equação . Então, temos:
Essa é uma equação transcendental e pode ter múltiplas soluções dependendo do valor de .

Passo 3

Para encontrar quando surge um segundo ponto fixo, observamos que, inicialmente, para valores pequenos de , existe apenas o ponto fixo trivial . À medida que aumenta, pode surgir um segundo ponto fixo não trivial. O valor de onde isso ocorre �� chamado de valor crítico .

Passo 4

Para determinar a estabilidade de um ponto fixo, calculamos a derivada da função no ponto fixo. A derivada é dada por:
A condição para que um ponto fixo seja estável é que . Quando , o ponto fixo passa a ser instável.

Passo 5

Vamos analisar o ponto fixo trivial . Substituindo na derivada:
A condição para instabilidade é . Então:
Portanto, o valor crítico é .

Passo 6

No valor , o ponto fixo se torna instável. Além disso, nesse mesmo valor de , um segundo ponto fixo não trivial emerge. Isso confirma que é o valor onde ocorre a bifurcação do ponto fixo.

Resposta

O valor crítico onde surge o segundo ponto fixo e o primeiro ponto fixo se torna instável é:

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