[Computador] Considere o mapa seno
, onde
. O comportamento interessante deste mapa é para
e
, por isso, restrinja sua atenção para estes intervalos. (b) Para que valor de
(chame-o
) surge o segundo ponto fixo? Mostre que
é também o valor de
no qual o primeiro ponto fixo torna-se instável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um mapa seno definido por
, onde . Estamos interessados no intervalo
e
. A parte (b) da questão quer saber para qual valor de
(vamos chamar de
) surge um segundo ponto fixo. Além disso, precisamos mostrar que esse valor de
também é onde o primeiro ponto fixo se torna instável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e como determinar a estabilidade deles usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos fixos da função . Ponto fixo é o valor de
que satisfaz a equação
. Então, temos:
Essa é uma equação transcendental e pode ter múltiplas soluções dependendo do valor de
.
Passo 3
Para encontrar quando surge um segundo ponto fixo, observamos que, inicialmente, para valores pequenos de
, existe apenas o ponto fixo trivial
. À medida que
aumenta, pode surgir um segundo ponto fixo não trivial. O valor de
onde isso ocorre �� chamado de valor crítico
.
Passo 4
Para determinar a estabilidade de um ponto fixo, calculamos a derivada da função
no ponto fixo. A derivada é dada por:
A condição para que um ponto fixo seja estável é que
. Quando
, o ponto fixo passa a ser instável.
Passo 5
Vamos analisar o ponto fixo trivial
. Substituindo
na derivada:
A condição para instabilidade é
. Então:
Portanto, o valor crítico
é
.
Passo 6
No valor
, o ponto fixo
se torna instável. Além disso, nesse mesmo valor de
, um segundo ponto fixo não trivial emerge. Isso confirma que
é o valor onde ocorre a bifurcação do ponto fixo.
Resposta
O valor crítico
onde surge o segundo ponto fixo e o primeiro ponto fixo se torna instável é: