Considere o mapa iterativo , onde . (a) Mostre que ela tem exatamente dois pontos fixos dos quais apenas um é estável. Quais são eles?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente analisar o mapa iterativo , onde . A tarefa é mostrar que esse mapa tem exatamente dois pontos fixos e descobrir quais são, sendo que somente um deles é estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e o que significa ser estável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo é aquele que, ao aplicar a função , ele se mantém igual, ou seja, . Então, para encontrar os pontos fixos da nossa função , precisamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos resolver essa equação :
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os dois pontos fixos são e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual desses pontos fixos é estável. Para isso, vamos analisar a derivada da função , que nos ajuda a entender o comportamento próximo aos pontos fixos.
A derivada de é:

Passo 5

A estabilidade de um ponto fixo depende do valor absoluto da derivada nesse ponto. Se , o ponto é estável; se , é instável.
Vamos calcular nos pontos fixos que encontramos:
  1. Para :
Como , o ponto é estável.
  1. Para :
Como , o ponto é instável.

Resposta

Os pontos fixos são (estável) e (instável).

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