Considere o mapa iterativo
, onde
. (a) Mostre que ela tem exatamente dois pontos fixos dos quais apenas um é estável. Quais são eles?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente analisar o mapa iterativo
, onde
. A tarefa é mostrar que esse mapa tem exatamente dois pontos fixos e descobrir quais são, sendo que somente um deles é estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e o que significa ser estável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo
é aquele que, ao aplicar a função
, ele se mantém igual, ou seja,
. Então, para encontrar os pontos fixos da nossa função
, precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos resolver essa equação
:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os dois pontos fixos são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual desses pontos fixos é estável. Para isso, vamos analisar a derivada da função
, que nos ajuda a entender o comportamento próximo aos pontos fixos.
A derivada de
é:
Passo 5
A estabilidade de um ponto fixo depende do valor absoluto da derivada nesse ponto. Se
, o ponto é estável; se
, é instável.
Vamos calcular
nos pontos fixos que encontramos:
- Para
:
Como
, o ponto
é estável.
- Para
:
Como
, o ponto
é instável.
Resposta
Os pontos fixos são
(estável) e
(instável).