[Computador] Resolva numericamente a equação de movimento (12.11) para um PAF com intensidade motriz os demais parâmetros a seguir: frequência motriz , frequência natural , constante de amortecimento e condições iniciais . Resolva para os sete primeiros ciclos motrizes e chame a sua solução . Resolva outra vez para os mesmos parâmetros, exceto que e chame esta solução . Seja e desenhe um gráfico de versus . Com essa intensidade motriz, o movimento é caótico. Seu gráfico confirma isso? Em que sentido?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que resolver numericamente uma equação de movimento (referenciada como 12.11) para um PAF (Provavelmente um Pêndulo Acoplado Forçado) com alguns parâmetros específicos:
  • Intensidade motriz ( ): 1,084
  • Frequência motriz ( ):
  • Frequência natural ( ):
  • Constante de amortecimento ( ):
  • Condições iniciais: e
Vamos precisar resolver essa equação para os sete primeiros ciclos motrizes, ou seja, para . Depois, vamos fazer uma segunda resolução com uma pequena variação na condição inicial de posição ( ) e comparar as duas soluções para investigar se o movimento é caótico.

Passo 2

Para resolver numericamente a equação de movimento, vamos usar o método de Runge-Kutta de quarta ordem, que é bastante eficiente para resolver equações diferenciais ordinárias. Este método nos permite aproximar as soluções passo a passo ao longo do tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos definir os parâmetros fornecidos:
  • rad/s
  • rad/s
  • s⁻¹

Passo 4

A equação de movimento geral para um sistema amortecido e forçado pode ser escrita como:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade, e é a posição angular.

Passo 5

Para aplicar o método de Runge-Kutta, precisamos reescrever a equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem. Definimos:
Então, temos:

Passo 6

Com as equações acima, podemos implementar o método de Runge-Kutta para calcular e ao longo do tempo, começando com as condições iniciais fornecidas:
  • Para : ,
  • Para : ,

Passo 7

Após resolver as equações para os dois conjuntos de condições iniciais, obtemos duas funções: e . A seguir, calculamos a diferença entre elas:

Passo 8

Para analisar a sensibilidade às condições iniciais e determinar se o movimento é caótico, vamos plotar o gráfico de versus . Se o sistema for caótico, esperamos ver que cresce exponencialmente com o tempo, resultando em uma linha reta crescente no gráfico logarítmico.

Passo 9

Finalmente, ao observar o gráfico, verificamos se a diferença realmente aumenta de forma consistente ao longo do tempo. Um crescimento exponencial confirmaria a natureza caótica do movimento, indicando alta sensibilidade às condições iniciais.

Resposta

Sim, o gráfico de versus confirma que o movimento é caótico, pois a diferença entre as soluções e aumenta exponencialmente com o tempo, evidenciando sensibilidade às condições iniciais.

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