[Computador] Resolva numericamente a equação de movimento (12.11) para um PAF com intensidade motriz
os demais parâmetros a seguir: frequência motriz
, frequência natural
, constante de amortecimento
e condições iniciais
. Resolva para os sete primeiros ciclos motrizes
e chame a sua solução
. Resolva outra vez para os mesmos parâmetros, exceto que
e chame esta solução
. Seja
e desenhe um gráfico de
versus
. Com essa intensidade motriz, o movimento é caótico. Seu gráfico confirma isso? Em que sentido?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que resolver numericamente uma equação de movimento (referenciada como 12.11) para um PAF (Provavelmente um Pêndulo Acoplado Forçado) com alguns parâmetros específicos:
- Intensidade motriz (
): 1,084 - Frequência motriz (
): - Frequência natural (
): - Constante de amortecimento (
): - Condições iniciais:
e
Vamos precisar resolver essa equação para os sete primeiros ciclos motrizes, ou seja, para
. Depois, vamos fazer uma segunda resolução com uma pequena variação na condição inicial de posição (
) e comparar as duas soluções para investigar se o movimento é caótico.
Passo 2
Para resolver numericamente a equação de movimento, vamos usar o método de Runge-Kutta de quarta ordem, que é bastante eficiente para resolver equações diferenciais ordinárias. Este método nos permite aproximar as soluções passo a passo ao longo do tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos definir os parâmetros fornecidos:
-
-
rad/s -
rad/s -
s⁻¹
Passo 4
A equação de movimento geral para um sistema amortecido e forçado pode ser escrita como:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade, e
é a posição angular.
Passo 5
Para aplicar o método de Runge-Kutta, precisamos reescrever a equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem. Definimos:
Então, temos:
Passo 6
Com as equações acima, podemos implementar o método de Runge-Kutta para calcular
e
ao longo do tempo, começando com as condições iniciais fornecidas:
- Para
: , - Para
: ,
Passo 7
Após resolver as equações para os dois conjuntos de condições iniciais, obtemos duas funções:
e
. A seguir, calculamos a diferença entre elas:
Passo 8
Para analisar a sensibilidade às condições iniciais e determinar se o movimento é caótico, vamos plotar o gráfico de
versus
. Se o sistema for caótico, esperamos ver que
cresce exponencialmente com o tempo, resultando em uma linha reta crescente no gráfico logarítmico.
Passo 9
Finalmente, ao observar o gráfico, verificamos se a diferença
realmente aumenta de forma consistente ao longo do tempo. Um crescimento exponencial confirmaria a natureza caótica do movimento, indicando alta sensibilidade às condições iniciais.
Resposta
Sim, o gráfico de
versus
confirma que o movimento é caótico, pois a diferença entre as soluções
e
aumenta exponencialmente com o tempo, evidenciando sensibilidade às condições iniciais.