Um arame suave é enrolado na forma de uma espiral, com coordenadas cilíndricas polares
e
, onde
e
são constantes e o eixo
é verticalmente para cima (e a gravidade, verticalmente para baixo). Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana para uma conta de massa
presa ao arame. Determine a equação de Lagrange e em seguida a aceleração vertical da conta
. No limite
, o que é
? Isso faz sentido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de dinâmica usando a Lagrangiana. O exercício fala sobre uma conta de massa
presa a um arame em forma de espiral, descrito por coordenadas cilíndricas
e
. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana, derivar a equação de Euler-Lagrange e determinar a aceleração vertical
. Além disso, vamos analisar o que acontece quando
tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema de coordenadas. Como
é constante, o movimento da massa ocorre apenas ao longo da direção
e angularmente em
. A relação
nos diz como
varia com o ângulo
.
Passo 3
Vamos escolher
como a coordenada generalizada. Precisamos expressar a velocidade da massa em termos de
. Sabendo que
, podemos relacionar as derivadas em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética
. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética é dada por:
Como
é constante,
. Substituindo
:
Passo 5
A energia potencial
devido à gravidade é:
Agora, podemos escrever a Lagrangiana
como:
Passo 6
Para obter a equação de Euler-Lagrange, usamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Isso faz sentido porque, quando
é zero, o arame está alinhado apenas na direção vertical
, e a aceleração da conta é simplesmente a aceleração da gravidade.
Resposta
A aceleração vertical da conta é
. No limite
, temos
, o que faz sentido pois a conta está apenas sob a influência da gravidade.