Um arame suave é enrolado na forma de uma espiral, com coordenadas cilíndricas polares e , onde e são constantes e o eixo é verticalmente para cima (e a gravidade, verticalmente para baixo). Usando como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana para uma conta de massa presa ao arame. Determine a equação de Lagrange e em seguida a aceleração vertical da conta . No limite , o que é ? Isso faz sentido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de dinâmica usando a Lagrangiana. O exercício fala sobre uma conta de massa presa a um arame em forma de espiral, descrito por coordenadas cilíndricas e . Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana, derivar a equação de Euler-Lagrange e determinar a aceleração vertical . Além disso, vamos analisar o que acontece quando tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema de coordenadas. Como é constante, o movimento da massa ocorre apenas ao longo da direção e angularmente em . A relação nos diz como varia com o ângulo .

Passo 3

Vamos escolher como a coordenada generalizada. Precisamos expressar a velocidade da massa em termos de . Sabendo que , podemos relacionar as derivadas em relação ao tempo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética . Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética é dada por:
Como é constante, . Substituindo :

Passo 5

A energia potencial devido à gravidade é:
Agora, podemos escrever a Lagrangiana como:

Passo 6

Para obter a equação de Euler-Lagrange, usamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, vamos analisar o limite quando :
Isso faz sentido porque, quando é zero, o arame está alinhado apenas na direção vertical , e a aceleração da conta é simplesmente a aceleração da gravidade.

Resposta

A aceleração vertical da conta é . No limite , temos , o que faz sentido pois a conta está apenas sob a influência da gravidade.

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