Mostre que a energia potencial de uma força central
é
se escolhermos o zero de
apropriadamente. Em particular, se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a energia potencial
de uma força central da forma
(onde
) é igual a
, desde que a gente escolha o zero da energia potencial de maneira adequada. Além disso, o exercício quer que a gente confirme isso para o caso específico quando
, mostrando que
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força central, energia potencial e integração de funções de força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é força central. Uma força central é aquela que sempre aponta para ou para fora de um ponto central (neste caso, a origem) e cuja magnitude depende apenas da distância
desse ponto. No nosso caso, a força é
, o que significa que a força depende da distância
elevada à potência
, e o sinal negativo indica que ela é atrativa (puxa para o centro) se
for positivo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como relacionar força e energia potencial. A energia potencial
está relacionada à força pela relação:
No caso unidimensional ou radial, isso simplifica para:
Isso significa que, para encontrar
, precisamos integrar a força em relação a
.
Passo 4
Vamos então integrar a força para encontrar a energia potencial. Dada a força
, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, integramos ambos os lados com respeito a
:
Passo 5
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Assim, a energia potencial fica:
Passo 6
Agora, precisamos escolher o valor de
de forma apropriada. O enunciado sugere que a gente escolhe o zero da energia potencial de forma conveniente. Geralmente, escolhemos
quando
, a menos que o problema peça outro ponto de referência. Se colocarmos
:
Então, a energia potencial fica:
Passo 7
Agora, vamos verificar o caso específico quando
. Substituindo
na expressão da energia potencial:
O que confirma o que o enunciado queria que a gente mostrasse.
Resposta
A energia potencial da força central
é
. Em particular, para
, temos
.