Mostre que a energia potencial de uma força central é se escolhermos o zero de apropriadamente. Em particular, se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a energia potencial de uma força central da forma (onde ) é igual a , desde que a gente escolha o zero da energia potencial de maneira adequada. Além disso, o exercício quer que a gente confirme isso para o caso específico quando , mostrando que .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força central, energia potencial e integração de funções de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é força central. Uma força central é aquela que sempre aponta para ou para fora de um ponto central (neste caso, a origem) e cuja magnitude depende apenas da distância desse ponto. No nosso caso, a força é , o que significa que a força depende da distância elevada à potência , e o sinal negativo indica que ela é atrativa (puxa para o centro) se for positivo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como relacionar força e energia potencial. A energia potencial está relacionada à força pela relação:
No caso unidimensional ou radial, isso simplifica para:
Isso significa que, para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 4

Vamos então integrar a força para encontrar a energia potencial. Dada a força , temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, integramos ambos os lados com respeito a :

Passo 5

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Assim, a energia potencial fica:

Passo 6

Agora, precisamos escolher o valor de de forma apropriada. O enunciado sugere que a gente escolhe o zero da energia potencial de forma conveniente. Geralmente, escolhemos quando , a menos que o problema peça outro ponto de referência. Se colocarmos :
Então, a energia potencial fica:

Passo 7

Agora, vamos verificar o caso específico quando . Substituindo na expressão da energia potencial:
O que confirma o que o enunciado queria que a gente mostrasse.

Resposta

A energia potencial da força central é . Em particular, para , temos .

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