Um asteroide esférico de raio está girando com velocidade angular . À medida que o tempo passa, ele atrai mais matéria até que seu raio torna-se . Assumindo que sua densidade permanece a mesma e que a matéria adicional estava originalmente em repouso relativo ao asteroide (que seja na média), determine a nova velocidade angular do asteroide. (Você sabe, com base na física elementar, que o momento de inércia é .) Qual será a velocidade angular final se o raio duplicar?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um asteroide esférico que está girando com uma certa velocidade angular inicial, chamada . Com o tempo, ele vai acumulando mais matéria, aumentando seu raio de para , mas mantendo a mesma densidade. A matéria que está sendo adicionada estava parada em relação ao asteroide, ou seja, sua velocidade inicial relativa ao asteroide é zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a nova velocidade angular desse asteroide quando seu raio duplicar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a massa do asteroide muda quando seu raio aumenta, mantendo a densidade constante. A densidade ( ) é dada por:
Como a densidade permanece a mesma e o asteroide é esférico, o volume é proporcional ao raio ao cubo ( ). Portanto, a massa também cresce com o raio ao cubo:
Isso significa que se o raio dobra ( ), a massa aumenta por um fator de vezes.

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação do momento angular. O momento angular ( ) de um objeto em rotação é dado por:
Onde é o momento de inércia e é a velocidade angular. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como não há torque externo atuando, o momento angular inicial deve ser igual ao momento angular final:
Substituindo a expressão do momento de inércia:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Como vimos no Passo 2, a massa final é 8 vezes a massa inicial (já que o raio dobrou e ). E o raio final é . Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Podemos cancelar dos dois lados:

Resposta

A nova velocidade angular do asteroide quando o raio duplicar será:
Ou seja, a velocidade angular final é da velocidade angular inicial.

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