Um asteroide esférico de raio
está girando com velocidade angular
. À medida que o tempo passa, ele atrai mais matéria até que seu raio torna-se
. Assumindo que sua densidade permanece a mesma e que a matéria adicional estava originalmente em repouso relativo ao asteroide (que seja na média), determine a nova velocidade angular do asteroide. (Você sabe, com base na física elementar, que o momento de inércia é
.) Qual será a velocidade angular final se o raio duplicar?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um asteroide esférico que está girando com uma certa velocidade angular inicial, chamada
. Com o tempo, ele vai acumulando mais matéria, aumentando seu raio de
para
, mas mantendo a mesma densidade. A matéria que está sendo adicionada estava parada em relação ao asteroide, ou seja, sua velocidade inicial relativa ao asteroide é zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a nova velocidade angular desse asteroide quando seu raio duplicar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a massa do asteroide muda quando seu raio aumenta, mantendo a densidade constante. A densidade (
) é dada por:
Como a densidade permanece a mesma e o asteroide é esférico, o volume
é proporcional ao raio ao cubo (
). Portanto, a massa também cresce com o raio ao cubo:
Isso significa que se o raio dobra (
), a massa aumenta por um fator de
vezes.
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação do momento angular. O momento angular (
) de um objeto em rotação é dado por:
Onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como não há torque externo atuando, o momento angular inicial deve ser igual ao momento angular final:
Substituindo a expressão do momento de inércia:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 4
Como vimos no Passo 2, a massa final
é 8 vezes a massa inicial
(já que o raio dobrou e
). E o raio final
é
. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Resposta
A nova velocidade angular do asteroide quando o raio duplicar será:
Ou seja, a velocidade angular final é
da velocidade angular inicial.