Considere um corpo girando com velocidade angular em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo e use coordenadas polares cilíndricas , para especificar as posições das partículas que formam o corpo. Mostre que a componente do momento angular total pode ser escrita como , onde é o momento de inércia (para o eixo em questão),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um corpo que está girando com uma velocidade angular em torno de um eixo fixo, que no caso está alinhado com o eixo . A matéria envolvida aqui é momentum angular e momento de inércia. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento angular total e relacioná-lo com o momento de inércia .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição dela em relação ao eixo de rotação ( ) e a sua velocidade angular ( ). Matematicamente, temos:
Mas como estamos interessados apenas na componente do momento angular ( ), vamos focar nessa parte.

Passo 3

Usando coordenadas cilíndricas , a posição de cada partícula pode ser representada. A velocidade angular está alinhada com o eixo , então a velocidade da partícula é:
Aqui, é o vetor unitário na direção angular da partícula.

Passo 4

Agora, vamos calcular a componente do momento angular total . Somamos o momento angular de todas as partículas:
Isso acontece porque, em coordenadas cilíndricas, apenas o produto contribui para a componente do momento angular.

Passo 5

Observando a expressão acima, percebemos que o termo é, por definição, o momento de inércia do corpo em relação ao eixo :

Resposta

Portanto, a componente do momento angular total é:

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