Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
,
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo. Mostre que a componente
do momento angular total pode ser escrita como
, onde
é o momento de inércia (para o eixo em questão),
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um corpo que está girando com uma velocidade angular
em torno de um eixo fixo, que no caso está alinhado com o eixo
. A matéria envolvida aqui é momentum angular e momento de inércia. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento angular total
e relacioná-lo com o momento de inércia
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição dela em relação ao eixo de rotação (
) e a sua velocidade angular (
). Matematicamente, temos:
Mas como estamos interessados apenas na componente
do momento angular (
), vamos focar nessa parte.
Passo 3
Usando coordenadas cilíndricas
, a posição de cada partícula
pode ser representada. A velocidade angular
está alinhada com o eixo
, então a velocidade da partícula é:
Aqui,
é o vetor unitário na direção angular da partícula.
Passo 4
Agora, vamos calcular a componente
do momento angular total
. Somamos o momento angular de todas as partículas:
Isso acontece porque, em coordenadas cilíndricas, apenas o produto
contribui para a componente
do momento angular.
Passo 5
Observando a expressão acima, percebemos que o termo
é, por definição, o momento de inércia
do corpo em relação ao eixo
:
Resposta
Portanto, a componente
do momento angular total é: