Iniciando pelo somatório (3.31) e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado
, girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma chapa quadrada fina com lado de comprimento
e queremos descobrir o momento de inércia dela em torno de um eixo que é perpendicular à chapa e passa pelo centro dela. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de momento de inércia, que envolve integrar a distribuição de massa da chapa em relação às coordenadas espaciais. Vamos substituir o somatório discreto por uma integral contínua para facilitar os cálculos.
Passo 2
O momento de inércia (
) em relação a um eixo perpendicular à chapa e passando pelo centro pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
-
é a área da chapa. -
é a distância de um ponto qualquer da chapa ao eixo de rotação. -
é um elemento de massa da chapa.
Passo 3
Como a chapa é fina e homogênea, podemos expressar
em termos da densidade superficial (
):
Onde
é um elemento de área. Para uma chapa quadrada de lado
, escolhemos coordenadas cartesianas com o eixo passando pelo centro, então os limites de
e
vão de
a
.
Passo 4
A distância
de um ponto
ao eixo de rotação (que está no centro) é:
Então,
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do momento de inércia:
Como a chapa é homogênea,
é constante e pode ser trazida para fora da integral.
Passo 6
Calculando a integral:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Então,
Passo 8
De forma similar, a segunda integral será:
E,
Passo 9
Somando as duas partes:
Passo 10
Agora, precisamos relacionar a densidade superficial
com a massa total
da chapa. A massa
é dada por:
Então,
Passo 11
Substituindo
na expressão do momento de inércia:
Resposta
O momento de inércia da chapa quadrada em torno do eixo perpendicular que passa pelo centro é: