Iniciando pelo somatório (3.31) e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado , girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma chapa quadrada fina com lado de comprimento e queremos descobrir o momento de inércia dela em torno de um eixo que é perpendicular à chapa e passa pelo centro dela. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de momento de inércia, que envolve integrar a distribuição de massa da chapa em relação às coordenadas espaciais. Vamos substituir o somatório discreto por uma integral contínua para facilitar os cálculos.

Passo 2

O momento de inércia ( ) em relação a um eixo perpendicular à chapa e passando pelo centro pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
  • é a área da chapa.
  • é a distância de um ponto qualquer da chapa ao eixo de rotação.
  • é um elemento de massa da chapa.

Passo 3

Como a chapa é fina e homogênea, podemos expressar em termos da densidade superficial ( ):
Onde é um elemento de área. Para uma chapa quadrada de lado , escolhemos coordenadas cartesianas com o eixo passando pelo centro, então os limites de e vão de a .

Passo 4

A distância de um ponto ao eixo de rotação (que está no centro) é:
Então, .

Passo 5

Substituindo e na fórmula do momento de inércia:
Como a chapa é homogênea, é constante e pode ser trazida para fora da integral.

Passo 6

Calculando a integral:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Então,

Passo 8

De forma similar, a segunda integral será:
E,

Passo 9

Somando as duas partes:

Passo 10

Agora, precisamos relacionar a densidade superficial com a massa total da chapa. A massa é dada por:
Então,

Passo 11

Substituindo na expressão do momento de inércia:

Resposta

O momento de inércia da chapa quadrada em torno do eixo perpendicular que passa pelo centro é:

Exercícios de Livros Relacionados