Um sistema consiste em massas nas posições relativas a uma origem fixa . Seja denotando a posição de relativa ao CM, isto é, . Use essa relação para mostrar o resultado (3.28) de que a taxa de variação do momento angular em torno do CM é igual ao torque externo total em torno de CM. (Esse resultado surpreende, já que o CM pode estar acelerando, de modo que ele não é necessariamente um ponto fixo em um referencial inercial.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com N massas posicionadas em em relação a um ponto fixo . O objetivo é mostrar que a taxa de variação do momento angular em relação ao centro de massa (CM) é igual ao torque externo total em torno do CM. Isso faz parte da mecânica clássica, especificamente na dinâmica dos sistemas de partículas. Vamos precisar usar conceitos de centro de massa, momento angular e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o centro de massa do sistema:
onde é a massa total do sistema.

Passo 3

Agora, definimos a posição de cada massa relativa ao centro de massa:
Isso facilita na hora de calcular o momento angular em relação ao CM.

Passo 4

O momento angular total do sistema em relação ao CM é dado por:
onde é o momentum de cada massa.

Passo 5

Vamos derivar o momento angular em relação ao tempo:

Passo 6

Sabemos que , onde é a força total sobre a massa . Assim:
Mas , onde é a velocidade do CM. Substituindo:
Mas , então:

Passo 7

Portanto, a equação fica:

Passo 8

Agora, separamos as forças em internas e externas. As forças internas se cancelam devido à ação e reação (Lei de Newton). Restam apenas as forças externas :
onde é o torque externo total em torno do centro de massa.

Resposta

A taxa de variação do momento angular em torno do centro de massa é igual ao torque externo total em torno do CM:

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