Quando um átomo é colocado em um campo elétrico externo uniforme os níveis de energia são deslocados - um fenômeno conhecido como efeito Stark (é o equivalente elétrico do efeito Zeeman). Nesse problema, analisaremos o efeito Stark para os estados e de hidrogênio. Permita que o campo aponte na direção , assim, a energia potencial do elétron será
Trate isso como uma perturbação no Hamiltoniano de Bohr (Equação 6.42). (O spin é irrelevante nesse problema , portanto, ignore-o e despreze a estrutura fina.)
(a) Demonstre que a energia do estado fundamental não é afetada por essa perturbação em primeira ordem.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um átomo de hidrogênio colocado em um campo elétrico externo uniforme . Esse campo faz com que os níveis de energia do átomo sejam deslocados, o que chamamos de efeito Stark. Queremos mostrar que, para o estado fundamental (o nível de energia mais baixo, ), essa energia não muda na primeira ordem da perturbção.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de perturbações na mecânica quântica, especificamente a primeira ordem da teoria de perturbações não-degeneradas. Também vamos usar as funções de onda do átomo de hidrogênio para calcular os elementos de matriz necessários.

Passo 2

A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano sem perturbação mais a perturbação devido ao campo elétrico externo. No caso, a perturbação é:
Aqui, é a carga do elétron, é a intensidade do campo elétrico externo, é a distância do elétron ao núcleo e é o ângulo entre a posição do elétron e a direção do campo elétrico (eixo ).

Passo 3

Na teoria de perturbações, a energia corrigida na primeira ordem é dada por:
onde é a função de onda do estado sem perturbação (no nosso caso, o estado fundamental do hidrogênio).

Passo 4

Vamos calcular essa integral para o estado fundamental ( ). A função de onda para o estado fundamental do hidrogênio é esférica, ou seja, não depende do ângulo . Além disso, a função é ímpar em relação a .

Passo 5

Quando multiplicamos uma função par (como a função de onda do estado fundamental) por uma função ímpar ( ) e integramos sobre todo o espaço angular, o resultado é zero. Isso acontece porque as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Matematicamente:

Resposta

A energia do estado fundamental do hidrogênio não sofre alteração na primeira ordem devido à perturbação do campo elétrico externo, ou seja, .

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