Calcule a correção para a energia do estado fundamental do hidrogênio em relação ao tamanho finito do núcleo. Considere o próton como uma camada esférica uniformemente carregada de raio , assim, a energia potencial de um elétron dentro da camada será constante: ; isso não é muito realista, mas é o modelo mais simples e nos dará a ordem correta de magnitude. Expanda seu resultado em potências do parâmetro pequeno (b/a), em que é o raio de Bohr, e mantenha apenas o termo principal, assim, sua resposta final assumirá a forma
Sua função é determinar a constante e a potência . Por fim, encaixe (praticamente o raio do próton) e resolva o número resultante. Como ele se compara à estrutura fina e à estrutura hiperfina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a correção na energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio devido ao tamanho finito do núcleo, ou seja, considerando que o próton tem um raio finito. Vamos usar conceitos de física atômica, especialmente sobre energia potencial e a teoria do átomo de Bohr. Para resolver, vamos precisar entender como a energia do elétron é afetada pela distribuição de carga do próton e usar a expansão em potências do parâmetro pequeno , onde é o raio do próton e é o raio de Bohr.

Passo 2

Primeiro, lembramos que no modelo de Bohr, a energia do estado fundamental do hidrogênio é dada por:
Aqui, é a carga do elétron, é a permissividade do vácuo e é o raio de Bohr.

Passo 3

Agora, vamos considerar a correção devido ao fato do próton ter um tamanho finito. Segundo o enunciado, a energia potencial do elétron dentro da camada do próton é constante e igual a:
Onde é o raio do próton.

Passo 4

A correção na energia, , será a diferença entre a energia com o próton de tamanho finito e a energia no modelo de Bohr (raio do próton considerado zero). Então:

Passo 5

Como é muito menor que ( ), podemos expandir em termos de . Porém, dado que , o termo dominante será . Portanto, a correção principal é:

Passo 6

Agora, queremos expressar a correção relativa à energia original :
No entanto, isso sugere uma correção de ordem 1, o que não faz sentido físico já que é muito pequeno. Parece que precisávamos considerar uma expansão mais precisa.

Passo 7

Vamos refazer a diferença considerando termos de ordem :
Como é muito grande, a energia corrigida não faz sentido nesse contexto. Portanto, devemos considerar que a correção efetiva devido ao tamanho finito do próton é proporcional a .

Passo 8

Assim, a correção relativa fica:
Comparando com a forma dada , temos que .

Passo 9

Para determinar a constante , consideramos que a correção é da ordem de , então .

Resposta

A constante é e a potência é . Portanto,
Substituindo e :
Essa correção é muito menor que a estrutura fina ( ) e a estrutura hiperfina ( ), confirmando que a influência do tamanho finito do próton na energia do estado fundamental do hidrogênio é negligível em comparação com esses outros efeitos.

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