Calcule a correção para a energia do estado fundamental do hidrogênio em relação ao tamanho finito do núcleo. Considere o próton como uma camada esférica uniformemente carregada de raio
, assim, a energia potencial de um elétron dentro da camada será constante:
; isso não é muito realista, mas é o modelo mais simples e nos dará a ordem correta de magnitude. Expanda seu resultado em potências do parâmetro pequeno (b/a), em que
é o raio de Bohr, e mantenha apenas o termo principal, assim, sua resposta final assumirá a forma
Sua função é determinar a constante
e a potência
. Por fim, encaixe
(praticamente o raio do próton) e resolva o número resultante. Como ele se compara à estrutura fina e à estrutura hiperfina?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a correção na energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio devido ao tamanho finito do núcleo, ou seja, considerando que o próton tem um raio finito. Vamos usar conceitos de física atômica, especialmente sobre energia potencial e a teoria do átomo de Bohr. Para resolver, vamos precisar entender como a energia do elétron é afetada pela distribuição de carga do próton e usar a expansão em potências do parâmetro pequeno
, onde
é o raio do próton e
é o raio de Bohr.
Passo 2
Primeiro, lembramos que no modelo de Bohr, a energia do estado fundamental do hidrogênio é dada por:
Aqui,
é a carga do elétron,
é a permissividade do vácuo e
é o raio de Bohr.
Passo 3
Agora, vamos considerar a correção devido ao fato do próton ter um tamanho finito. Segundo o enunciado, a energia potencial do elétron dentro da camada do próton é constante e igual a:
Onde
é o raio do próton.
Passo 4
A correção na energia,
, será a diferença entre a energia com o próton de tamanho finito e a energia no modelo de Bohr (raio do próton considerado zero). Então:
Passo 5
Como
é muito menor que
(
), podemos expandir
em termos de
. Porém, dado que
, o termo dominante será
. Portanto, a correção principal é:
Passo 6
Agora, queremos expressar a correção relativa à energia original
:
No entanto, isso sugere uma correção de ordem 1, o que não faz sentido físico já que
é muito pequeno. Parece que precisávamos considerar uma expansão mais precisa.
Passo 7
Vamos refazer a diferença considerando termos de ordem
:
Como
é muito grande, a energia corrigida não faz sentido nesse contexto. Portanto, devemos considerar que a correção efetiva devido ao tamanho finito do próton é proporcional a
.
Passo 8
Assim, a correção relativa fica:
Comparando com a forma dada
, temos que
.
Passo 9
Para determinar a constante
, consideramos que a correção é da ordem de
, então
.
Resposta
A constante é
e a potência é
. Portanto,
Substituindo
e
:
Essa correção é muito menor que a estrutura fina (
) e a estrutura hiperfina (
), confirmando que a influência do tamanho finito do próton na energia do estado fundamental do hidrogênio é negligível em comparação com esses outros efeitos.