Suponha que o Hamiltoniano , para um determinado sistema quântico, seja uma função de parâmetro ; sejam e os autovalores e autofunções de . O teorema de Feynman-Hellmann afirma que
(supondo que seja não degenerado, ou, se degenerado, que os sejam as ‘boas’ combinações lineares das autofunções degeneradas).
(a) Prove o teorema de Feynman-Hellman. Dica: use a Equação 6.9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar o teorema de Feynman-Hellmann. Esse teorema relaciona como a energia de um sistema quântico muda quando a gente varia um parâmetro no Hamiltoniano. Para isso, vamos precisar usar propriedades dos autovalores e autofunções do Hamiltoniano, além de aplicar a regra da derivada. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, temos que entender o que o teorema nos diz. Ele afirma que a derivada do autovalor em relação ao parâmetro é igual ao valor esperado da derivada do Hamiltoniano em relação a na autofunção :

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação que define os autovalores e autofunções do Hamiltoniano:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 4

Aplicando a derivada ao lado esquerdo:
E ao lado direito:
Então temos:

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela função de adjunta, ou seja, :

Passo 7

Sabemos que , então . Isso implica que o segundo termo na equação acima é zero:
Também, por normalização.

Passo 8

Portanto, sobra:
E assim, provamos o teorema de Feynman-Hellmann!

Resposta

Prontinho! A derivada do autovalor em relação ao parâmetro é igual ao valor esperado da derivada do Hamiltoniano em na autofunção :

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