Calcule o comprimento de onda, em centímetros, do fóton emitido sob a transição hiperfina no estado fundamental
do deutério. O deutério é um hidrogênio ‘pesado’, com um nêutron extra no núcleo; o próton e o nêutron se ligam para formar um deutério com spin 1 e momento magnético
o fator
do deutério é 1,71.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento de onda, em centímetros, de um fóton emitido durante uma transição hiperfina no estado fundamental do deutério (que é tipo o hidrogênio ‘pesado’). A matéria que estamos lidando aqui envolve física atômica e, mais especificamente, transições hiperfinas, que são mudanças de energia decorrentes da interação entre os momentos magnéticos do núcleo e do elétron. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam energia, comprimento de onda e momentos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a transição hiperfina resulta em uma diferença de energia (ΔE) entre dois níveis de energia muito próximos. Essa diferença de energia está relacionada ao comprimento de onda (λ) do fóton emitido pela relação de energia quântica:
Aqui,
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz. Nosso objetivo é encontrar
, então vamos rearranjar a fórmula:
Então, precisamos calcular a diferença de energia
da transição hiperfina do deutério.
Passo 3
A diferença de energia hiperfina pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é o momento magnético do elétron. -
é o momento magnético do deutério. -
é o raio de Bohr, que é uma constante física.
Mas precisamos dos valores de
e
. No enunciado, nos dão uma expressão para
:
Aqui:
-
é o fator giromagnético do deutério, que vale 1,71. -
é a carga elementar. -
é a massa do deutério. -
é o spin do deutério.
Para simplificar, vamos considerar
em termos da magneton nuclear (
), que é uma unidade comum para momentos magnéticos nucleares:
Onde
e
é a massa do próton.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula da diferença de energia:
Precisamos dos valores numéricos:
-
(momento magnético do elétron) -
(magneton nuclear) -
(raio de Bohr) -
Vamos calcular
:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule
:
Calculando os números:
Então:
Agora, calcule
:
Agora, substitua de volta na fórmula de
:
Calculando:
Como estamos interessados no valor absoluto da energia da transição:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar o comprimento de onda
usando a relação:
Onde:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo denominador:
Convertendo para centímetros:
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido na transição hiperfina do deutério é aproximadamente
centímetros.