Quando um átomo é colocado em um campo elétrico externo uniforme os níveis de energia são deslocados - um fenômeno conhecido como efeito Stark (é o equivalente elétrico do efeito Zeeman). Nesse problema, analisaremos o efeito Stark para os estados e de hidrogênio. Permita que o campo aponte na direção , assim, a energia potencial do elétron será
Trate isso como uma perturbação no Hamiltoniano de Bohr (Equação 6.42). (O spin é irrelevante nesse problema , portanto, ignore-o e despreze a estrutura fina.)
(b) O primeiro estado excitado é 4 vezes degenerado: . Utilizando a teoria da perturbação degenerada, determine as correções de primeira ordem para a energia. Em quantos níveis se divide?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o efeito Stark, que é a mudança nos níveis de energia de um átomo quando ele é colocado em um campo elétrico externo uniforme. Aqui, estamos olhando para os estados com número quântico principal e do átomo de hidrogênio. A parte (b) do problema foca no primeiro estado excitado ( ), que é quartamente degenerado, ou seja, tem quatro estados com a mesma energia: , , e . Vamos usar a teoria da perturbação degenerada para encontrar as correções de primeira ordem para a energia e descobrir em quantos níveis se divide.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a matriz de perturbação. A perturbação aqui é dada por:
Como estamos lidando com estados degenerados, vamos construir a matriz de perturbação no subespaço dos estados degenerados , , e . A matriz terá elementos .

Passo 3

Agora, vamos calcular os elementos da matriz de perturbação. Sabemos que , e que a expectativa de em estados com diferentes números quânticos magnéticos pode ser diferenciada usando propriedades de integração de funções angulares.
Observamos que:
  • (por simetria)
  • (por ortogonalidade)
  • (por simetria e seleção de transições)
  • é diferente de zero
Portanto, a matriz de perturbação acaba tendo apenas elementos diagonais diferentes de zero para os estados e , já que as integrais cruzadas são nulas devido à simetria.

Passo 4

Com a matriz de perturbação diagonalizada, podemos identificar os autovalores que correspondem às correções de energia de primeira ordem. Como apenas dois elementos diagonais são não nulos, teremos duas correções de energia diferentes. Isso significa que o nível degenerado original se divide em dois níveis distintos.

Resposta

As correções de primeira ordem para a energia são duas distintas, resultando na divisão do nível em dois níveis de energia diferentes.

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