Considere o oscilador harmônico tridimensional isotrópico (Problema 4.38). Discuta o efeito (em primeira ordem) da perturbação
(para uma constante ) no
(a) estado fundamental;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o oscilador harmônico tridimensional isotrópico, que é basicamente um sistema onde uma partícula se move em três dimensões com força restauradora proporcional à distância em cada direção. A tarefa é analisar como uma perturbação específica, representada pela fórmula , afeta o estado fundamental (ou seja, o estado de energia mais baixa) desse sistema, utilizando a teoria de perturbação de primeira ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o estado fundamental, como aplicar a teoria de perturbação e calcular a expectativa dessa perturbação no estado fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o estado fundamental no oscilador harmônico tridimensional isotrópico. É o estado de menor energia possível, onde a partícula está na posição de equilíbrio e tem a menor energia quântica possível. As funções de onda desse estado são produtos das funções de onda unidimensionais nos eixos x, y e z.

Passo 3

Agora, a teoria de perturbação de primeira ordem nos ajuda a encontrar como pequenas mudanças no Hamiltoniano (que descreve a energia total do sistema) afetam os estados e as energias do sistema. No caso, nossa perturbação é . Para a primeira ordem, a mudança na energia do estado fundamental é simplesmente a esperança ou valor esperado dessa perturbação no estado fundamental.

Passo 4

Vamos calcular essa expectativa no estado fundamental. Isso significa calcular:
Como o estado fundamental é simétrico nas três direções, os termos de expectativa como são iguais a zero. Isso acontece porque, na simetria do estado fundamental, as variáveis x, y e z não têm correlação — ou seja, elas se comportam de maneira independente e, por simetria, a média de seus produtos é zero.

Passo 5

Portanto, como , temos:
Isso quer dizer que, na primeira ordem da teoria de perturbação, a perturbação não afeta a energia do estado fundamental do oscilador harmônico tridimensional isotrópico.

Resposta

A perturbação não causa alteração na energia do estado fundamental na primeira ordem, ou seja, a mudança na energia é zero.

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