Avalie os comutadores e (nos quais, é claro, ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos dois comutadores: e . Aqui, é o operador de momento angular na direção , é o quadrado da posição dado por , e é o quadrado do momento dado por . Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente propriedades dos comutadores e dos operadores de momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. Em mecânica quântica, o comutador de dois operadores e é definido como:
Calcular o comutador nos ajuda a entender como dois observáveis se relacionam e se eles podem ser medidos simultaneamente com precisão.

Passo 3

Vamos começar calculando . Sabemos que o operador de momento angular na direção é dado por:
E .

Passo 4

Vamos calcular :
Expandindo essa expressão, temos termos como , , etc.

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Similarmente, expandimos essa expressão.

Passo 6

Subtraindo as duas expressões:
Ao fazer isso, muitos termos vão se cancelar devido à simetria das expressões, resultando em zero.

Passo 7

Portanto, concluímos que:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Usando a mesma lógica, começamos com:
E .

Passo 9

Calculando :
Expandindo, temos termos como , , etc.

Passo 10

Calculando :
Novamente, expandimos essa expressão.

Passo 11

Subtraindo as duas expressões:
Assim como antes, muitos termos vão se cancelar devido à simetria, resultando em zero.

Resposta

e

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