Avalie os comutadores
e
(nos quais, é claro,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos dois comutadores:
e
. Aqui,
é o operador de momento angular na direção
,
é o quadrado da posição dado por
, e
é o quadrado do momento dado por
. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente propriedades dos comutadores e dos operadores de momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. Em mecânica quântica, o comutador de dois operadores
e
é definido como:
Calcular o comutador nos ajuda a entender como dois observáveis se relacionam e se eles podem ser medidos simultaneamente com precisão.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Sabemos que o operador de momento angular na direção
é dado por:
E
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Expandindo essa expressão, temos termos como
,
, etc.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Similarmente, expandimos essa expressão.
Passo 6
Subtraindo as duas expressões:
Ao fazer isso, muitos termos vão se cancelar devido à simetria das expressões, resultando em zero.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Usando a mesma lógica, começamos com:
E
.
Passo 9
Calculando
:
Expandindo, temos termos como
,
, etc.
Passo 10
Calculando
:
Novamente, expandimos essa expressão.
Passo 11
Subtraindo as duas expressões:
Assim como antes, muitos termos vão se cancelar devido à simetria, resultando em zero.