Duas partículas de massa
estão ligadas às extremidades de uma haste rígida sem massa de comprimento
. O sistema é livre para rotacionar em três dimensões em torno do centro (porém, o próprio ponto central é fixo).
(a) Demonstre que as energias permitidas dessє rotor rígido são
Dica: primeiramente, expresse a energia (clássica) em termos do momento angular total.
(a) Demonstre que as energias permitidas dessє rotor rígido são
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas de massa
ligadas pelas pontas de uma haste rígida e sem massa, com comprimento
. Esse sistema pode girar livremente em três dimensões ao redor do centro fixo da haste. O objetivo é mostrar que as energias permitidas desse rotor rígido são dadas pela fórmula:
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e energia cinética rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento angular. Para um objeto que gira, o momento angular (
) é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
No nosso caso, temos duas partículas de massa
a uma distância
do centro. O momento de inércia
para cada partícula em relação ao centro é:
Como são duas partículas, o momento de inércia total é:
Passo 4
A energia cinética rotacional (
) de um rotor rígido é dada por:
Mas a gente quer expressar isso em termos do momento angular. Sabemos que:
Substituindo isso na fórmula da energia:
Passo 5
Agora, na mecânica quântica, o momento angular é quantizado. Os valores permitidos do momento angular total
são dados por:
onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 6
Vamos substituir esse valor quantizado de
na expressão da energia:
Passo 7
Lembrando que calculamos o momento de inércia total
como
, substituímos na fórmula da energia:
Resposta
Portanto, as energias permitidas desse rotor rígido são: