Duas partículas de massa estão ligadas às extremidades de uma haste rígida sem massa de comprimento . O sistema é livre para rotacionar em três dimensões em torno do centro (porém, o próprio ponto central é fixo).
(a) Demonstre que as energias permitidas dessє rotor rígido são
Dica: primeiramente, expresse a energia (clássica) em termos do momento angular total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas de massa ligadas pelas pontas de uma haste rígida e sem massa, com comprimento . Esse sistema pode girar livremente em três dimensões ao redor do centro fixo da haste. O objetivo é mostrar que as energias permitidas desse rotor rígido são dadas pela fórmula:
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e energia cinética rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento angular. Para um objeto que gira, o momento angular ( ) é dado por:
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

No nosso caso, temos duas partículas de massa a uma distância do centro. O momento de inércia para cada partícula em relação ao centro é:
Como são duas partículas, o momento de inércia total é:

Passo 4

A energia cinética rotacional ( ) de um rotor rígido é dada por:
Mas a gente quer expressar isso em termos do momento angular. Sabemos que:
Substituindo isso na fórmula da energia:

Passo 5

Agora, na mecânica quântica, o momento angular é quantizado. Os valores permitidos do momento angular total são dados por:
onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 6

Vamos substituir esse valor quantizado de na expressão da energia:

Passo 7

Lembrando que calculamos o momento de inércia total como , substituímos na fórmula da energia:

Resposta

Portanto, as energias permitidas desse rotor rígido são:

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